2
1

Решить систему уравнений

$%\left\{\!\begin{aligned} & x+2=y^2 \\ & y+2=z^2 \\ & z+2=x^2 \end{aligned}\right.$%

задан 14 Ноя '19 17:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Предположим, что $%x > 2$%. Тогда $%z-x=x^2-x-2=(x-2)(x+1) > 0$%, то есть $%z > x$%. Отсюда $%z > 2$%, и из тех же соображений $%y > z$%, и затем так же точно $%x > y$%, что приводит к противоречию. Следовательно, $%x\le2$%, и из соображений симметрии $%y,z\le2$%. Мы также знаем, что все числа $%\ge-2$%, то есть $%|x|,|y|,|z|\le2$%. Тогда можно записать $%x=2\cos t$% для некоторого $%t$%. Далее последовательно имеем $%z=x^2-2=2(2\cos^2t-1)=2\cos2t$%, $%y=2\cos4t$%, $%x=2\cos8t$%, что приводит к уравнению $%\cos t-\cos8t=2\sin\frac{9t}2\sin\frac{7t}2=0$%.

Таким образом, $%t=\frac{2\pi k}7$% или $%t=\frac{2\pi k}9$%, где $%k$% целое. Эти условия являются достаточными и дают тройки решений вида $%x=2\cos\frac{2\pi k}7$%, $%y=2\cos\frac{8\pi k}7$%, $%z=\cos\frac{4\pi k}7$%, где $%k=0,1,\ldots,3$%, а также $%x=2\cos\frac{2\pi k}9$%, $%y=2\cos\frac{8\pi k}9$%, $%z=\cos\frac{4\pi k}9$%, где $%k=0,1,\ldots,4$%. (Остальные значения приводят к повторениям.)

Заметим также, что при $%k=0$% обе серии дают $%x=y=z=2$%, а при $%k=3$% вторая серия даёт $%x=y=z=-1$%. Кроме этих двух решений, имеется ещё 6 решений, то есть два принципиально различных относительно циклических перестановок.

ссылка

отвечен 14 Ноя '19 18:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,101
×4,060

задан
14 Ноя '19 17:22

показан
207 раз

обновлен
14 Ноя '19 18:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru