Интеграл функции z^6/(3z^4+z+1) по окружности |z|=1.
По теореме Руше можно понять, что все особые точки лежат внутри окружности. Тогда можно найти интеграл, зная вычет в бесконечности.
А как его найти, тут не ясно. В ряд Лорана? Не понятно, как разложить такую функцию.
Если кто-то видит как, то пожалуйста, подскажите.

задан 14 Ноя 18:03

2

Если вынесите из знаменателя $%3z^4$%, то останется разложить в окрестности бесконечности дробь $%\displaystyle\frac{1}{1+\left(\frac{1}{3z^3}+\frac{1}{3z^4}\right)}$% -- а это раскладывается, как геометрическая прогрессия, ибо выражение в скобках попадает в окрестность нуля. При таком разложении нас будет интересовать только первая степень скобки, поскольку только она, умножившись на $%\frac{z^2}{3}$% даст слагаемое вида $%\frac{c}{z}$%. Получается коэффициент $%-\frac{1}{9}$%.

(14 Ноя 18:09) caterpillar
1

@Ghosttown: замену z=1/w не пробовали применить?

(14 Ноя 18:14) falcao

@falcao, чтобы потом вычет найти как минус производная новой функции от w в точке ноль? Там же функция эта, новая, от w, должна быть регуларной в нуле,а тут 1/0 получается

(14 Ноя 18:48) Ghosttown

@caterpillar, спасибо большое!

(14 Ноя 18:49) Ghosttown

Не за что. Рассуждение с теоремой Руше мне прям зашло) Я бы так сразу не догадался.

(14 Ноя 18:54) caterpillar

@Ghosttown: после замены области поменяются местами. Внутри круга останется только w=0, и вычет в ней находится напрямую через разложение, или по формуле. У меня тоже получилось -1/9 как коэффициент при w^{-1}. Но я не знаю, какой из двух способов тут предпочтительнее.

(14 Ноя 19:13) falcao

@falcao, что-то всё равно Вас не понял. Знаю, что если исходная f(z)=g(1/z) и g регулярна в точке 0, то вычет равен -g'(0).
Здесь g = 1/(3w^2+w^5+w^6), в нуле все плохо

(14 Ноя 20:55) Ghosttown

@Ghosttown: Вы не забыли учесть, что dz=d(1/w)=-dw/w^2? Там восьмая степень будет в знаменателе. В нуле будет полюс 4-го порядка, и он вычисляется по другой формуле.

(14 Ноя 21:33) falcao

@falcao, аа действительно, спасибо, тогда как обычно можно вычислить.

(15 Ноя 0:54) Ghosttown
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,181
×362
×73

задан
14 Ноя 18:03

показан
65 раз

обновлен
15 Ноя 0:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru