Дана следующая функция: $$f(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{nx^2}{n^3x^6+1}$$ Необходимо доказать, что $$\lim\limits_{x\to0} f(x) = \infty$$ Я так полагаю, что задача сводится к получению некоторой оценки снизу, причём такой, чтобы ее пределом в точке 0 была бесконечность. Тогда понятно, что функция, которая больше её, в нуле тоже будет иметь бесконечный предел. Я пытался искать оценку сначала на каждое слагаемое, потом пробовал найти оценку на всю сумму, но результатов это не принесло.

задан 15 Ноя '19 20:59

10|600 символов нужно символов осталось
4

Функция $%g(n)=\frac{nx^2}{n^3x^6+1}$% монотонно убывает по $%n$%, при $%n\geq\frac{1}{\sqrt[3]2x^2}$% поэтому при $%n\geq n_0(x)=\left[\frac{1}{\sqrt[3]2x^2}\right]+1$% $$\int\limits_n^{n+1}\frac{tx^2}{t^3x^6+1}dt\leq\frac{nx^2}{n^3x^6+1}.$$

Суммируем: $%f(x)\geq\displaystyle\sum\limits_{n=n_0(x)}^\infty\frac{nx^2}{n^3x^6+1}\geq\displaystyle\int\limits_{n_0(x)}^\infty\frac{tx^2}{t^3x^6+1}dt=\dfrac{1}{x^2}\int\limits_{n_0(x)x^2}^\infty\frac{ydy}{y^3+1}\geq\dfrac{1}{x^2}\int\limits_{1/\sqrt[3]2+x^2}^\infty\frac{ydy}{y^3+1}$%. Дальнейшее очевидно.

ссылка

отвечен 16 Ноя '19 8:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×738
×108
×22

задан
15 Ноя '19 20:59

показан
142 раза

обновлен
16 Ноя '19 8:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru