егэ - $%a^2+10|x-1|+3\sqrt{x^2-2x+10}=3a+3|x-a-1|$% имеет хотя бы один корень.

$%a^2+10|x-1|+3\sqrt{x^2-2x+10}=3a+3|x-a-1|$%

Обозначим $%x-1=t.$%

Уравнение примет вид $%a^2+10|t|+3\sqrt{t^2+9}=3a+3|t-a|.$%

Пусть $%A=a^2+10|t|+3\sqrt{t^2+9}, B=3a+3|t-a|.$%

$%A\ge a^2+9+10|t|=A_1, B\le3a+3|t|+3|a|=B_1.$%

$%A_1-B_1=a^2-(3a+3|a|)+9+7|t|=\left[\begin{aligned}(a-3)^2+7|t|, при a\ge0\\a^2+9+7|t|, при a\le0 \end{aligned}\right. \Rightarrow A_1\ge B_1.$%

И так $% A\ge A_1\ge B_1\ge B.$% .

Исходное уравнение будет иметь хоть один корень, если существует хоть одна пара

$%(t_0;a_0),$% при которой $%A=A_1=B_1=B.$%

$%A=A_1,$% при $%t=0,a\in R.$%

$% A_1=B_1, $% при $%a=3,t=0,$%

$% B=B_1, $% при $%at\le 0.$%

Подходит пара $%a=3, t=0$%.

И так уравнение имеет хот один корень если $%a=3.$% Этот корень $%x=1 (t=0).$%