$$\text{Верно ли, что корни многочлена } f(x) \text{ над конечным полем } \Bbb{F}_{p^{n}} \text{ характеристики $p$}$$ $$\text{образуют $\Bbb{F}_p $- векторное подпространство в } \Bbb{F}$$

$$\text{В качестве } f(x) \text{ рассмотрим:}$$ $$\text{(a) } x^p - x$$ $$\text{(b) } x^{2p} - x$$ $$\text{(c) } x^{p^{n}} - x$$

Как можно это проверить?

задан 16 Ноя '19 17:30

10|600 символов нужно символов осталось
0

Есть известный критерий для непустого подмножества векторного пространства быть подпространством: он утверждает, что оно должно быть замкнуто относительно сложения и умножения на скаляры. Второе условие для случая векторных пространств над полем $%\mathbb F_p$% можно отбросить, так как любой такой скаляр является суммой единиц.

Таким образом, вопрос сводится к тому, верно ли, что сумма корней многочлена есть корень многочлена. В а) имеем $%x^p=x$% и $%y^p=y$%. Отсюда с учётом "детской биномиальной теоремы" следует, что $%(x+y)^p=x^p+y^p=x+y$%, то есть условие выполнено. Заметим, что здесь само множество корней имеет явное описание. А именно, в силу малой теоремы Ферма, элементы простого подполя $%\mathbb F_p$% являются корнями $%x^p-x$%, и их ровно $%p$%, поэтому других корней нет. Они образуют одномерное пространство над этим полем.

В пункте в) можно рассуждать аналогично. Ввиду того же самого тождества, индукцией по $%k\ge1$% получаем $%(x+y)^{p^k}=x^{p^k}+y^{p^k}$% для любых элементов поля. При $%k=n$% окажется, что из $%x^{p^n}=x$%, $%y^{p^n}=y$% следует $%(x+y)^{p^n}=x+y$%.

Также можно воспользоваться теорией, из которой следует, что поле $%F_{p^n}$% удовлетворяет тождеству $%x^{p^n}=x$% (это довольно простое следствие теоремы Лагранжа о подгруппах), то есть подпространство тут совпадает со всем пространством.

Рассмотрим теперь пункт б). Для начала заметим, что из предыдущего рассуждения следует, что корни уравнения $%x^{p^k}=x$% образуют подпространство для любого $%k$%. Если $%p=2$%, то $%2p=p^2$%, и мы имеем частный случай. Допустим, что $%p$% нечётно. Пусть $%x^{2p}=x$%. Тогда либо $%x=0$%, либо $%x^{2p-1}=1$%. Вместе с этим, $%x^{p^n-1}=1$% для любого $%x\ne0$%, откуда $%x^d=1$% для всех ненулевых элементов поля, где $%d$% есть НОД чисел $%p^n-1$% и $%2p-1$%.

Импликация в обратную сторону также верна. Если элементы со свойством $%x^{2p}=x$% образуют подпространство, то это же верно для уравнения $%x^{d+1}=x$%. Ненулевые элементы здесь обратимы, и мы имеем подполе. Из теории известно, что порядок подполя равен степени $%p$%, то есть $%d+1\le2p < p^2$% есть степень $%p$%. Тогда это $%p$%, то есть $%d=p-1$%, однако $%2p-1$% на это число не делится.

Тут всё можно было бы изложить покороче, но я писал без черновика, а текст менять уже не хочется.

ссылка

отвечен 16 Ноя '19 23:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,496
×1,322
×412

задан
16 Ноя '19 17:30

показан
132 раза

обновлен
16 Ноя '19 23:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru