Пытаюсь описать конечные мультипликативные подгруппы поля рациональных функций. $$F_p(x) = \left\{\frac{f(x)}{g(x)}: f(x) \in F_p[x], g(x) \in F_p \setminus0\right\}$$ Найдем элементы этого поля, имеющие конечный порядок. $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^n = 1 \iff (f(x))^n = (g(x))^n$$ Верно ли, что такое равенство возможно только, когда $$f(x),g(x) \in F_p ?$$ Тогда циклические мультипликативные подгруппы были бы в точности циклическими мультипликативными подгруппами $F_p$, то есть тривиальны (единица или вся мультипликативная группа поля).

задан 22 Ноя '19 17:46

изменен 22 Ноя '19 17:47

1

@ЖанВаль: несократимая дробь остаётся таковой после возведения в степень. Тогда из f^n/g^n=1 следует, что f/g -- элемент поля (сокращение происходит на многочлен степени 0). Получаются подгруппы циклической группы порядка p-1, и там возможно любое значение d|p-1.

(22 Ноя '19 19:31) falcao

@falcao Спасибо за пояснения, разобрался!

(22 Ноя '19 20:40) ЖанВаль
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,542
×244

задан
22 Ноя '19 17:46

показан
86 раз

обновлен
22 Ноя '19 20:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru