Простая задача - вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями, с помощью двойного интеграла. Сами поверхности: $%z=1-x^2,\ z=1-y^2,\ z=0$%, т.е. пересекаются параболические цилиндры. При проектировании тела на XOY всё хорошо: имеем квадрат 1x1 с диагоналями $%y=x,\ y=-x$%. Объёмы в области левого и правого треугольников в силу симметрии равны, $%z$% меняется от $%0$% до $%1-x^2$% $$2\int_{0}^{1}dx\int_{-x}^{x}(1-x^2-0)dy=...=1$$ Аналогично для нижнего и верхнего (для удобства меняю порядок интегрирования), $%z$% меняется от $%0$% до $%1-y^2$% $$2\int_{0}^{1}dy\int_{-y}^{y}(1-y^2-0)dx=...=1$$ Ответ 2 - правильно.

Но вот когда проектирую на XOZ, например, то результат отличается. Проекцией является часть плоскости между параболой $%z=1-x^2$% и прямой $%z=0$%, $%y$% меняется от $%-\sqrt{1-z}$% до $%\sqrt{1-z}$% Тогда объём равен $$\int_{-1}^{1}dx\int_{0}^{1-x^2}(\sqrt{1-z}-(-\sqrt{1-z}))dz=...=\frac{8}{3}$$ При этом часть объёма при x от 0 до 1 получается 1, а от -1 до 0 - 5/3, что невозможно в силу симметрии. Все вычисления верны, значит, я неправильно составил интеграл или проекцию, но в чём именно ошибка, понять не могу.

задан 23 Ноя '19 16:42

10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×107
×98

задан
23 Ноя '19 16:42

показан
67 раз

обновлен
23 Ноя '19 16:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru