Здравствуйте! Спрашивается, при каких значениях $%\alpha, \beta, \gamma$% система уравнений $$\begin{cases} \alpha x_1 + \beta x_2 + \gamma x_3 - x_4 = 0\\ \gamma x_1 + \alpha x_2 + \beta x_3 - x_4 = 0 \\ \beta x_1 + \gamma x_2 + \alpha x_3 - x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{cases}$$

имеет единственное решение. Нужно найти это решение.

Если я правильно понимаю, чтобы было единственное решение, определитель должен быть не равен нулю. Я составляю определитель, пытаюсь его считать, получается жуть. Тут, видимо, что-то другое имели в виду? А насчет найти решение - это они намекают на метод Крамера или тоже что-то проще?

задан 26 Ноя '19 23:32

2

Сложите первые три уравнения, с учётом последнего уравнения найдёте $%x_4...$% $$α^3+β^3+γ^3-3αβγ=(α+β+γ)(...).$$

(26 Ноя '19 23:37) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, можно, конечно, очень глупый вопрос? Откуда взялось последнее равенство, которое Вы написали?

(27 Ноя '19 16:27) Math_2012
1

@Math_2012: это известное тождество, которое проверяется раскрытием скобок. То, что во второй скобке, однозначно восстанавливается. По-моему, там сумма квадратов минус сумма попарных произведений.

(27 Ноя '19 16:51) falcao

@falcao, очередной глупый вопрос. Сложив первые три уравнения, получаю, что $%x_4 = \tfrac{\alpha + \beta + \gamma}{3}$%. Тождество теперь знаю. Только вот я не пойму, как мне это должно помочь найти все, что требуется... Эххх.. ((

(27 Ноя '19 20:41) Math_2012

@Math_2012: Теперь метод Крамера для первых трёх уравнений.

(27 Ноя '19 20:43) EdwardTurJ
1

@Math_2012, Сложив первые три уравнения, получаю, что... - методом гениальной догадки получаем, что $%x_1=x_2=x_3=\frac{1}{3}$% - должно быть единственным решением...

(27 Ноя '19 20:52) all_exist

@all_exist, кстати, такая мысль у меня была...

(27 Ноя '19 20:58) Math_2012

@all_exist, А какие тогда условия единственности для коэффициентов?...

(27 Ноя '19 21:09) Math_2012
1

@Math_2012, ну, равенство из первого комментария @EdwardTurJ является же вычислением определителя... единственность, если он не равен нулю...

(27 Ноя '19 21:25) all_exist

@all_exist, То есть выражение $%\alpha^3 + \beta^2 + \gamma^3 - 3\alpha \beta \gamma \ne 0$% - это условие единственности решения?

(28 Ноя '19 17:10) Math_2012

@Math_2012: в принципе, да (только beta там в кубе), но можно упростить это условие. Можно заметить, исходя из разложения, что равенство нулю означает a+b+c=0 или a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0. Второе условие равносильно (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0, то есть a=b=c. Иными словами, решение не единственно, когда все числа между собой равны, а также если их сумма равна нулю. В остальных случаях решение x1=x2=x3=1/3, x4=(a+b+c)/3 единственно.

(28 Ноя '19 18:27) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,331
×304
×101

задан
26 Ноя '19 23:32

показан
141 раз

обновлен
28 Ноя '19 18:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru