Найдётся ли полином $%P(x)=x^{20}+a_{19}x^{19}+…+a_1x+a_0$% с положительными коэффициентами без действительных корней такой, что любая перестановка двух коэффициентов $%a_i,a_j$% приводит к появлению действительных корней?

задан 27 Ноя 15:34

изменен 27 Ноя 17:51

1

@EdwardTurJ: переставлять можно только два коэффициента?

(27 Ноя 16:17) falcao

@falcao: Спасибо, поправил.

(27 Ноя 17:52) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
3

$$p_{2n}(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+\ . . . \ + a_{2}x^{2}+a_1x+a_0$$

Пусть: $%\ \ (a_{2n-2}> a_{2n-4}>\ ...\ >a_4>a_2>a_0)>(a_1>a_3>\ ...\ >a_{2n-3}>a_{2n-1})>0\ \ (*) $%

Тогда:

1) $%\ p_{2n}(x)$% может иметь только корни $%t_0<-1:$%

$$x^{2n}+(a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n-2}x^{2n-2})+\ . . . \ +(a_3x^3+ a_{2}x^{2})+(a_1x+a_0) >0\ \ (x\ge-1)$$

2) $%\ \forall\ t_0<-1$% перестановка $%(\ a_i\leftrightarrow a_j\ ) $% уменьшает $%p_{2n}(t_0):\ \ \ (a_i-a_j)(t_0^i-t_0^j)>0$%

Подберем 2 набора коэффициентов $%p_{2n}(x)$% удовлетворяющих условию $%(*):$%

$$(b_{2n-2}> b_{2n-4}>\ ...\ >b_2>b_0)>(b_1>b_3>\ ...\ >b_{2n-1})>0: ( \forall x <-1: p_{2n}(x)>0)\ (1)$$

$$(c_{2n-2}> c_{2n-4}>\ ...\ >c_2>c_0)>(c_1>c_3>\ ...\ >c_{2n-1})>0: ( \exists\ x<-1: p_{2n}(x)<0)\ (2)\ \ $$

Такие наборы явно существуют:

$%(1):\ \ 1> (b_{2n-2}> b_{2n-4}>\ ...\ >b_2>b_0)>(b_1>b_3>\ ...\ >b_{2n-3}>b_{2n-1})>0 $%

Тогда: $%\forall \ x<-1:$%

$$(x^{2n}+b_{2n-1}\cdot x^{2n-1})+(b_{2n-2}\cdot x^{2n-2}+b_{2n-3}\cdot x^{2n-3})+\ ...\ + (b_2\cdot x^{2}+b_{1}\cdot x)+b_0 >0$$

$% (2):\ x<-1$%

$$ p_{2n}(x)< x^{2n}+c_{2n-1}( x^{2n-1}+x^{2n-3}+\ ...\ +x)+c_{2n-2}(x^{2n-2}+x^{2n-4}+\ ...\ +1)=$$

$$=x^{2n}+(c_{2n-2}+c_{2n-1}x)\cdot \dfrac{x^{2n}-1}{x^2-1}<0$$

( можно положить: $%c_{2n-2}=x^2\ ,\ c_{2n-1}=x^2-1$%)

Итак есть $%2$% набора коэффициентов $%p_{2n}(x)\ $% удовлетворяющих условиям $%(1)$% и $%(2)\ \Rightarrow$% по непрерывности существует набор коэффициентов $%a_i$%, удовлетворяющих условию $%(*)$% для которого :

$$p_{2n}(x) \ge 0\ ,\ \ \exists \ t_0<-1:\ \ p_{2n}(t_0)=0$$

Возьмем : $%f_{2n}(x)=p_{2n}(x)+\Delta $% , где $%0<\Delta < \min\left((a_i-a_j)(t_0^i-t_0^j)\right)$%

ссылка

отвечен 30 Ноя 18:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×387
×42

задан
27 Ноя 15:34

показан
205 раз

обновлен
30 Ноя 18:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru