В одной западной стране мальчик подрабатывает тем, что торгует power bank’ами; он закупает их по 4 доллара за штуку и продает по 7. При этом он не может возвращать обратно непроданные банки и несет на них убыток. Предположим, что число возможных продаж в один день случайно и имеет распределение Пуассона со средним значением 50. Сколько power bank’ов должен закупать бедняга для того, чтобы максимизировать свою среднюю прибыль?

задан 27 Ноя 17:28

Выписать среднюю прибыль не сложно... а с максимизацией - походу только численно...

(27 Ноя 20:10) all_exist

@all_exist, задача имеет красивое решение.

(28 Ноя 14:55) Williams Wol...

@Williams Wol..., всё может быть... я и не претендую... )))

(28 Ноя 15:15) all_exist

@Williams Wol..., задача имеет красивое решение. - поделитесь?... )))

(30 Ноя 17:45) all_exist

@all_exist, это не мое утверждение, а преподавателя)

(30 Ноя 21:29) Williams Wol...

я бы и сам хотел его увидеть

(30 Ноя 21:29) Williams Wol...
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Предположим, что было закуплено $%N$% внешних аккумуляторов. Пусть случайная величина приняла значение $%k\ge0$%, вероятность чего составляет $%p_k=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$%, где $%\lambda=50$%. Если $%k\ge N$%, то все устройства будут проданы, и прибыль составит $%3N$% долларов. Если $%k < N$%, то будет продано $%k$% устройств с прибылью $%3k$% и за нераспроданные устройства убыток составит $%4N-4k$%. Итого прибыль (возможно, отрицательная) будет равна $%7k-4N$%.

Итого имеем матожидание прибыли $$\sum\limits_{k=0}^{N-1}(7k-4N)p_k+3N\sum\limits_{k=N}^{\infty}p_k=7\sum\limits_{k=0}^{N-1}(k-N)p_k+3N.$$

Обозначим такую величину через $%f(N)$% и оценим разность $%f(N)-f(N+1)$%. Легко видеть, что она равна $%7\sum\limits_{k=0}^Np_k-3$%, и нас интересует максимальное $%N$%, при котором эта величина положительна.

Численным способом можно убедиться в том, что $%N=L-1=49$% (альтернативы прямому вычислению я не вижу, хотя она может существовать). Итого надо закупать $%49$% устройств.

ссылка

отвечен 1 Дек 14:48

изменен 1 Дек 15:58

Мне кажется, что тут что-то не так. Даже интуитивно кажется, что ответ не 49 должен быть.

(1 Дек 15:01) Williams Wol...

@falcao, Легко видеть, что она равна - по-моему, множитель 7 перед суммой потеряли...

Я тоже считал численно, но видимо перепутал $%n$% и $%n+1$%, поэтому ответ 48 получался... (((

(1 Дек 15:04) all_exist

У меня ответ в районе 30 получался, я уже не помню

(1 Дек 15:17) Williams Wol...

@all_exist: да, я опечатался и пропустил множитель 7, но при вычислениях он учитывался, конечно.

@Williams Wol...: как раз с интуитивной точки зрения ясно, что 30 -- это очень мало. Там ведь матожидание равно L=50, то есть ответ примерно около этого значения и должен быть.

(1 Дек 15:58) falcao

@falcao, альтернативы прямому вычислению я не вижу, хотя она может существовать - возможно есть какие-то оценки для частичных сумм разложения экспоненты... точнее говоря, оценки скорости сходимости ряда к самой экспоненте...

(1 Дек 16:09) all_exist

@all_exist: об этом я тоже думал -- это типа предельных теорем. Но там всё довольно сложно -- скажем, при L=200 ответом будет уже не L-1, а L-3 или типа того.

(1 Дек 18:30) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,658

задан
27 Ноя 17:28

показан
105 раз

обновлен
1 Дек 18:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru