|
Эллипс повернули на 9 0 ∘ относительно некоторой точки плоскости. Оказалось, что новый эллипс пересекает исходный в четырёх точках A , B , C и D (и при этом образуется выпуклый четырёхугольник A B C D ). Найдите максимальное значение угла A D C , если ∠ A BC=140∘ задан 28 Ноя '19 20:26 
luna |
|
Уравнение эллипса с центром в точке поворота $$ \frac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\frac{(y-\beta)^2}{b^2}=1 $$ Уравнение эллипса с после поворота $$ \frac{(x-\beta)^2}{b^2}+\frac{(\pm y-\alpha)^2}{a^2}=1 $$ Сложили оба уравнения $$ \left(\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}\right) \;x^2 + \left(\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}\right) \;y^2 + Ax+By=C $$ и получили, что если система имеет решение, то все точки расположены на окружности отвечен 30 Ноя '19 15:22 
all_exist Интересно, что это верно для любых двух эллипсов с ортогональными осями, пересекающихся в 4-х точках. И вообще для любой пары конических сечений с перпендикурярными осями, пересекающихся в 4-х точках, эти 4 точки лежат на одной окружности.
(30 Ноя '19 18:55)
Sergic Primazon
@Sergic Primazon, для любой пары конических сечений - однотипных..
(30 Ноя '19 19:39)
all_exist
@all_exist не обязательно однотипных
(30 Ноя '19 20:04)
Sergic Primazon
@all_exist т.е., если все точки лежат на окружности, то четырехугольник является описанным, а из этого следует, что сумма противолежащих углов равна 180 градусов. Значит, угол ADC = 180 - ABC? Тогда как трактовать условие на "максимальное значение угла"?
(3 Дек '19 20:12)
Michael_Scof...
@Michael_Scof..., это известный прикол такого рода задач... искомое значение единственно... оно же максимальное (и минимальное)...
(3 Дек '19 20:24)
all_exist
|
|
$$\alpha:\ \ \ A(x-x_0)^2+B(y-y_0)^2=d_1 \ \ (A \ne B)$$ $$\beta:\ \ \ C(x-x_1)^2+D(y-y_1)^2=d_2\ \ \ (C \ne D)$$ $$\alpha A+\beta C=\alpha B+\beta D=F$$ $$F(x-c_1)^2+F(y-c_2)^2=c_3$$ отвечен 30 Ноя '19 19:59 
Sergic Primazon |
давеча такая задача была про параболу... олимпиада началась, что ли?...