У двух длинных круглых стержней, из которых один несколько толще другого, на одном конце поддерживается температура $%T_1$%. Оба стержня сделаны из одного и того же материала и оба отдают часть тепла в окружающий воздух постоянной температуры $%T_0$%. Какой из них будет теплее на расстоянии единицы длины от нагретого конца?

задан 30 Ноя 0:34

изменен 30 Ноя 1:03

10|600 символов нужно символов осталось
5

Примем левый конец стержня за начало отсчёта, и направим ось $%Ox$% вдоль оси стержня вправо. Рассмотрим малый элемент $%dx$%, расположенный между сечениями $%x$% и $%x+dx$%. По закону Фурье количество теплоты, прошедшее через сечение $%x$% в единицу времени определяется по формуле $%Q=-kS\frac{dT}{dx}$%, где $%k$% -- коэффициент теплопроводности, $%S$% -- поперечное сечение. Через сечение $%x+dx$% пройдёт $%Q+dQ=-kS\frac{dT}{dx}-d(kS\frac{dT}{dx})$%, а значит в элементе $%dx$% задерживается тепло $%-dQ=kS\frac{d^2T}{dx^2}dx$% (при отсутствии теплоотдачи).

По закону Ньютона количество тепла, отдаваемое элементом поверхности температурой $%T$% среде температурой $%T_0$% в единицу времени равно $%\mu P(T-T_0)dx$%, где $%\mu$% -- коэффициент пропорциональности, $%P$% -- периметр поперечного сечения. Данное количество тепла равно $%-dQ$%, откуда получаем уравнение $%kS\frac{d^2T}{dx^2}-\mu P(T-T_0)=0.$% С учётом того, что у нас $%S=\pi R^2$%, $%P=2\pi R$%, получаем: $%kR\frac{d^2T}{dx^2}-2\mu (T-T_0)=0$%. Удобно обозначить $%\tau=T-T_0$%, тогда приходим к уравнению $%kR\tau''-2\mu\tau=0$%, откуда, обозначая $%a^2=\frac{2\mu}{kR}$%, получаем решение $%\tau=T-T_0=c_1e^{ax}+c_2e^{-ax}$%. Добавляем граничные условия $%T(0)=T_1,\;T(\infty)=T_0$%. Из второго условия сразу следует $%c_1=0$%, а тогда из первого получаем, что $%c_2=T_1-T_0$%.

Теперь рассмотрим толстый и тонкий стержни и запишем каждого из них своё решение: $%T^{(1)}-T_0=(T_1-T_0)e^{-a_1x}$% для толстого и $%T^{(2)}-T_0=(T_1-T_0)e^{-a_2x}$% для тонкого. Тогда $%\frac{T^{(1)}-T_0}{T^{(2)}-T_0}=e^{a_2-a_1}$% при $%x=1$%. Поскольку $%R_1>R_2$%, то $%a_2>a_1$%, поэтому $%\frac{T^{(1)}-T_0}{T^{(2)}-T_0}>1$%, откуда $%T^{(1)}>T^{(2)}$%.

ссылка

отвечен 30 Ноя 12:49

@caterpillar, большое спасибо!

(30 Ноя 18:36) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×174
×12
×3

задан
30 Ноя 0:34

показан
64 раза

обновлен
30 Ноя 18:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru