В треугольнике $%ABC$% высота и медиана, проведённые из вершины $%A$%, являются изогоналями относительно угла $%BAC$%, а $%∠B=11^\circ$%. Чему может быть равен угол $%C$% треугольника?

задан 30 Ноя 15:59

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

$$\angle H_1AL=\angle M_1AL\Rightarrow H_1L=M_1L\Rightarrow LM \perp H_1M_1$$

$$AH_1 \parallel ML\Rightarrow AM=MM_1\Rightarrow M=O$$

$%M-$% совпадает с центром описанной окружности.

ссылка

отвечен 30 Ноя 18:30

изменен 30 Ноя 18:30

@Sergic Primazon: возможен ведь ещё равнобедренный случай?

(30 Ноя 19:52) falcao

@falcao а что это меняет?

(30 Ноя 20:02) Sergic Primazon

@Sergic Primazon: например, то, что точка M уже не обязательно будет центром описанной окружности. То есть вырожденный случай стоило бы оговорить отдельно.

(30 Ноя 20:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

На всякий случай, рассмотрим рассуждение при помощи тригонометрии. Будем использовать стандартные обозначения для элементов треугольника. Изогональность медианы и высоты даёт равенство углов $%BAM$% и $%CAA_1$%, где $%M$%, $%A_1$% -- основания медианы и высоты соответственно, проведённых из точки $%A$%. Последний угол равен $%90^{\circ}-\gamma$%. Аналогично, $%CAM$% равен $%90^{\circ}-\beta$%.

Площади треугольников $%BAM$% и $%CAM$% равны, откуда с учётом теоремы синусов ($%c=2R\sin\gamma$%, $%b=2R\sin\beta$%) имеем $%\sin\gamma\sin(90^{\circ}-\gamma)=\sin\beta\sin(90^{\circ}-\beta)$%, то есть $%\sin\beta\cos\beta=\sin\gamma\cos\gamma$%. Получается, что у углов $%2\beta$% и $%2\gamma$% одинаковые синусы, то есть либо эти углы равны, и треугольник равнобедренный, либо в сумме они дают $%180^{\circ}$%, и угол при вершине $%A$% прямой.

ссылка

отвечен 30 Ноя 17:30

10|600 символов нужно символов осталось
0

Смотрите теорему на 1 странице... ответ следует моментально....

ссылка

отвечен 30 Ноя 16:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,761

задан
30 Ноя 15:59

показан
94 раза

обновлен
30 Ноя 20:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru