Добрый день, подскажите, пожалуйста, как доказать следующее:

Пусть $%Г_1$% и $%Г_2$% - матрицы Грама базисов $%e_1$% и $%e_2$%. Доказать, что при любых положительных коэффициентах матрица $%Г=\alpha_1Г_1 + \alpha_2Г_2$% также есть матрица Грама некоторого базиса. Пробовал несколькими путями рассуждать, но доказать не выходит. Вот так ближе всего вроде бы:

Из данного выражения видно, что результирующая матрица остается симметричной.

Кроме того, после умножения положительно определенной матрицы на положительное число она остается положительно определенной. Если я правильно понимаю, здесь остается доказать, что сумма двух положительно определенных матриц также является положительно определенной. Но это у меня не получается сделать. К примеру, рассмотрим сумму двух положительно определенных матриц второго порядка их угловой минор второго порядка: $%\begin{vmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{vmatrix}$% .

По свойствам определителя он распадется на $%det(A)+det(B)+ \begin{vmatrix} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22}\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22}\end{vmatrix}$%. Первые два определителя положительно, а вот про вторые два я не могу сказать, положительны они или нет, а также если отрицательны, что они строго меньше первых двух. На этом я и остановился.

Может быть еще как-то возможно доказать через формулы замены базиса. Но тут у меня тоже ничего хорошего не получилось.

задан 1 Дек 11:57

@Romaru: для проверки положительной определённости используйте не критерий Сильвестра, а определение. То есть (Ax,x)>=0 для любого x; равенство при x=0. Тогда ясно, что ((A+B)x,x)=(Ax+Bx,x)=(Ax,x)+(Bx,x)>=0 со всеми вытекающими.

(1 Дек 12:51) falcao

@falcao Спасибо за хорошую идею!

(1 Дек 13:11) Romaru
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,195
×378
×98

задан
1 Дек 11:57

показан
26 раз

обновлен
1 Дек 13:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru