нужно вычислить интеграл $$\int^{\infty}_{0}\frac{\arctan{x}}{x^p}$$ даже не знаю как к нему подступиться, стандартные методы не работают.

задан 2 Дек 11:39

изменен 2 Дек 11:42

10|600 символов нужно символов осталось
2

Вроде всё стандартно...

Для начала исследуем на сходимость... получаем условие сходимости в нуле $%p-1 < 1$%, а на бесконечности $%p > 1$%... итого, $%1 < p < 2$%...

Интегрируем по частям... $$ I=\int\limits_{0}^{\infty} \frac{\text{arctg}\,x}{x^p}\;dx= \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\text{arctg}\,x}{(1-p)x^{p-1}} - \lim\limits_{x\to 0}\frac{\text{arctg}\,x}{(1-p)x^{p-1}} - \int\limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1-p)\,x^{p-1}\,(1+x^2)} $$

Внеинтегральные слагаемые равны нулю при указанных значениях параметра... в оставшемся интеграле делаем замену $%y=x^2$%...

$$ I=\int\limits_{0}^{\infty} \frac{dy}{2(p-1)\,y^{p/2}\,(1+y)} = \frac{1}{2(p-1)} \cdot B\left(1-\frac{p}{2};\;\frac{p}{2}\right) $$

получили одну из форм записи бета-функции...

З.Ы. Кстати, сразу об этом не подумал, но если выразить ответ через гамма-функцию ... и воспользоваться её свойствами, то получим, что $$ 2(p-1)\cdot I= B\left(1-q;\;q\right)= \frac{\Gamma(1-q)\cdot \Gamma(q)}{\Gamma(1)} = \frac{\pi}{\sin(\pi q)}, $$ здесь для краткости обозначено $%p=2q$%

ссылка

отвечен 2 Дек 12:05

изменен 3 Дек 1:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,402
×1,186

задан
2 Дек 11:39

показан
62 раза

обновлен
3 Дек 1:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru