Подскажите, пожалуйста, почему существует чётное число способов разрезать доску $%6 \times 7$% на трехклеточные уголки?

задан 2 Дек 19:48

изменен 2 Дек 19:49

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку число 7 нечётно, один из уголков примыкает к стороне длиной 7 по одной клетке. Тогда рядом с ним имеется ещё один уголок, который вместе даёт прямоугольник 2x3. С каждым разбиением свяжем конкретный такой прямоугольник -- например, примыкающий к верхней стороне, и расположенный как можно левее.

В пределах данного прямоугольника 2x3 есть ровно 2 способа его разрезать на уголки, поэтому все способы разбиваются при этом на пары.

ссылка

отвечен 3 Дек 2:43

А сколько всего таких способов получится?

(3 Дек 18:16) Александр_3000

@Александр_3000: количество подсчитать, наверное, можно, но это задача скорее для компьютера.

(3 Дек 18:42) falcao

А если разбить уголки на пары, чтобы получились прямоугольники 2х3. Всего таких прямоугольников будет 7. Способов расставить эти прямоугольники на доске ровно 2 (не учитывая повороты, потому что это одна и та же расстановка получится). И составить такие прямоугольники из двух уголков тоже можно двумя способами. В конечном итоге имеем: 2 * 2^7 = 256. Что скажете? P.S. хотел прикрепить изображение, но не хватило репутации

(3 Дек 18:59) Александр_3000

@Александр_3000: думаю, что тут всё намного сложнее. Во-первых, ниоткуда не следует, что вся доска будет покрыта прямоугольниками 2x3, состоящими из двух уголков. Во-вторых, даже если брать только такие замощения, то их никак не два, а намного больше. В третьих, подсчёт здесь не должен вестись с точностью до симметрии.

(3 Дек 19:33) falcao

Если всю доску резать на уголки, то получатся только такие прямоугольники 2х3, у меня по-другому не получается. Как еще можно разрезать такие прямоугольники, кроме как этими двумя способами? Все остальные получаются поворотом. А что вы имели ввиду под третьим пунктом?

(3 Дек 19:53) Александр_3000
1

@Александр_3000: даже если сам факт верен (хотя у меня в этом есть сомнения), то его надо доказывать. То, что в каких-то вариантах других видов разрезания не получается, ещё ничего не значит.

Третий пункт означал, что число замощений нужно считать как оно есть. Если одно замощение получается из другого при помощи симметрии, то это не один способ, а два.

(3 Дек 21:07) falcao

@falcao, Ваши сомнения весьма обоснованы. Ниже пример разрезания, в котором всего 3 прямоугольника. Для клеток последовательно построчно сверху вниз и слева направо указаны номера уголков, покрывающих эту клетку: (1,2,2,3,3,4,4),(1,1,2,3,5,5,4),(6,6,7,8,8,5,9),(6,10,7,7,8,9,9),(11,10,10,12,13,14,14),(11,12,12,13,13,14).

(4 Дек 2:58) Urt
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×51

задан
2 Дек 19:48

показан
139 раз

обновлен
4 Дек 2:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru