2
1

Для каждого $%n\in\mathbb{N}$% определим $%k_n$% как ближайшее к $%\sqrt{n}$% целое число.

Как найти сумму следующего ряда?

$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{k_n^3}$$

задан 3 Дек 1:32

10|600 символов нужно символов осталось
2

Посчитали сколько одинаковых значений для каждого $%k_n$% встречается...
Для этого рассмотрим натуральные числа $%m^2, \;m^2+1,\;..., \;(m+1)^2$%... нетрудно понять, что $$ (m+0.5)^2 < \frac{m^2+(m+1)^2}{2} $$ Таким образом, вычисляя корень из чисел указанного набора, получим, что ближе к числу $%m^2$% будут находится корни из $%m^2, \;m^2+1,\;..., \;m^2+m$%...

Итого, в данном ряде будет $%2m$% членов со знаменателем $%m^3$% ... $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{k_n^3} = \sum\limits_{m=1}^{\infty}\dfrac{2m}{m^3}= 2\cdot \sum\limits_{m=1}^{\infty}\dfrac{1}{m^2}= 2\cdot \frac{\pi^2}{6} $$ последний ряд - является известным значением дзета-функции Римана...

ссылка

отвечен 3 Дек 1:58

изменен 3 Дек 2:01

@all_exist, большое спасибо! Теперь буду знать, что в турецких школах изучают дзета-функцию Римана :)

(3 Дек 2:02) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, большое спасибо! - не за что...

Теперь буду знать, что в турецких школах изучают дзета-функцию Римана :) - гы... )))

ну, сам этот ряд с квадратами в знаменателях достаточно часто встречается... поэтому может там про дзета-функцию и не упоминают... )))

(3 Дек 2:06) all_exist

@all_exist, тот факт, что школьники в Турции изучают числовые ряды и умеют находить их суммы, уже сам по себе заслуживает уважения. Насколько мне известно, ни в российских (моя Родина), ни в израильских (мои историческая Родина и местожительство) школах ряды не проходят.

(3 Дек 2:10) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, ну, во-первых, как минимум, сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии изучают... а это ряд...

Во-вторых, надо смотреть на систему образования Турции... возможно там ситуация, наподобие Румынии, где 12 классов, но только 10 обычные школьные... а 11-12 типа колледжа - и там алгебра и матанализ процветают буйным цветом - тут вам и матрицы, и комплексные числа, и и интегралы с пределами... Рядов не видел, но возможно в тот год просто такое задание в олимпиаду не включили... )))

(3 Дек 2:20) all_exist

@all_exist, страшно даже подумать, что же тогда изучают в турецких и румынских университетах :)

(3 Дек 2:23) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, лучше не задумываться об этом... )))

(3 Дек 2:24) all_exist
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,224
×728
×18
×5
×1

задан
3 Дек 1:32

показан
61 раз

обновлен
3 Дек 2:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru