Найти все а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень $$8a + \sqrt{7+6x-x^2} = ax + 4$$

задан 3 Июн '13 10:37

изменен 3 Июн '13 15:23

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно сделать замену переменной вида $%t=x-3$% и переписать уравнение в виде $$\sqrt{16-t^2}=at+4-5a.$$ Число решений при этом остаётся прежним, и далее для исследования можно применить графический метод. Один из графиков в системе координат $%Oty$% будет иметь вид $%y=\sqrt{16-t^2}$%, и это полуокружность с центром в нуле. Второй график представляет собой прямую $%y=at+4-5a$%. Требуется понять, при каких $%a$% прямая и полуокружность будут пересекаться ровно в одной точке.

Ясно, что значение $%a=0$% подходит. Далее можно рассмотреть случай $%a > 0$% и посмотреть, при каких значениях $%a$% прямая будет проходить через концы полуокружности, то есть точки $%(-4;0)$% и $%(4;0)$%. Этому соответствуют значения $%a=4/9$% и $%a=4$%. Из геометрических соображений понятно, что будет происходить в промежуточных случаях. При $%0 < a\le4/9$% точек пересечения будет две, затем при $%4/9 < a\le4$% точка пересечения будет одна, а при $%4 < a$% прямая не пересечёт полуокружность.

Далее надо исследовать случай $%a < 0$%. Здесь легко заметить, что и в точке $%t=0$%, и в точке $%t=4$%, значение линейной функции $%y=at+4-5a$% будет строго больше $%4$%, в то время как значение квадратного корня всегда не превосходит $%4$%. То есть прямая здесь будет расположена выше полуокружности, и решений при этих значениях параметра не имеется.

ссылка

отвечен 26 Авг '13 22:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$8a + \sqrt{7+6x-x^2} = ax + 4\Leftrightarrow \begin{cases}y=\sqrt{7+6x-x^2},\\y=a(x-8)+4,\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=\sqrt{4^2-(x-3)^2},\\y=a(x-8)+4.\end{cases}$$

alt text

$%a\in{\{0\}}\cup(\frac{4}{9};4].$%

ссылка

отвечен 27 Авг '13 15:28

изменен 27 Авг '13 22:08

10|600 символов нужно символов осталось
0

8a+ v7+6x-x^2 =ax+4

8a+v7+6x-x^2 -ax-4=0

v7+6x-x^2 -a ( домножаем а на х)= -8a+4\x

v7+6x-x^2=-8а-ах+4\х

х сокращаются

v7+6x-x^2=-8a-a+4

v7+6x-x^2=-9a+4 чтобы избавиться от корня в левой части, возводим обе части в квадрат или во вторую степень

(v7+6x-x^2)^2=(-9a+4)^2

-x^2+6x+7=81a^2+16

-81a^2-16=x^2-6x-7

-81a^2=x^2-6x-7+16

-81a^2=x^2-6x+9

x^2-6x+9=0

D=b^2-4ac=36-419=36-36=0

x1,2=-b+-vD\2a

x1=6+0\2*1=3

x2=6-0\2*1=3 ====>

=======> -81a^2=3

a^2=-3\81

т.к корня из отрицательного числа не существует, поделим обе части на -1

a^2=-3\81 |:(-1)

-a^2=3\81

a=+ - -V3\81

P.S. Извиняюсь, что не пользовался редактором уравнений: слишком было бы долго.

v-корень

    • пиши друг под другом

границы корня я обозначил большим промежутком

8a+ v7+6x-x^2 =ax+4

8a+v7+6x-x^2 -ax-4=0

ссылка

отвечен 26 Авг '13 17:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×757
×272

задан
3 Июн '13 10:37

показан
6186 раз

обновлен
27 Авг '13 22:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru