уравнения - С5. Найти все значения а, при которых уравнение имеет единственный корень

Можно сделать замену переменной вида $%t=x-3$% и переписать уравнение в виде $$\sqrt{16-t^2}=at+4-5a.$$ Число решений при этом остаётся прежним, и далее для исследования можно применить графический метод. Один из графиков в системе координат $%Oty$% будет иметь вид $%y=\sqrt{16-t^2}$%, и это полуокружность с центром в нуле. Второй график представляет собой прямую $%y=at+4-5a$%. Требуется понять, при каких $%a$% прямая и полуокружность будут пересекаться ровно в одной точке.

Ясно, что значение $%a=0$% подходит. Далее можно рассмотреть случай $%a > 0$% и посмотреть, при каких значениях $%a$% прямая будет проходить через концы полуокружности, то есть точки $%(-4;0)$% и $%(4;0)$%. Этому соответствуют значения $%a=4/9$% и $%a=4$%. Из геометрических соображений понятно, что будет происходить в промежуточных случаях. При $%0 < a\le4/9$% точек пересечения будет две, затем при $%4/9 < a\le4$% точка пересечения будет одна, а при $%4 < a$% прямая не пересечёт полуокружность.

Далее надо исследовать случай $%a < 0$%. Здесь легко заметить, что и в точке $%t=0$%, и в точке $%t=4$%, значение линейной функции $%y=at+4-5a$% будет строго больше $%4$%, в то время как значение квадратного корня всегда не превосходит $%4$%. То есть прямая здесь будет расположена выше полуокружности, и решений при этих значениях параметра не имеется.