Найти все а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень $$8a + \sqrt{7+6x-x^2} = ax + 4$$ задан 3 Июн '13 10:37 _julianavy_ |
Можно сделать замену переменной вида $%t=x-3$% и переписать уравнение в виде $$\sqrt{16-t^2}=at+4-5a.$$ Число решений при этом остаётся прежним, и далее для исследования можно применить графический метод. Один из графиков в системе координат $%Oty$% будет иметь вид $%y=\sqrt{16-t^2}$%, и это полуокружность с центром в нуле. Второй график представляет собой прямую $%y=at+4-5a$%. Требуется понять, при каких $%a$% прямая и полуокружность будут пересекаться ровно в одной точке. Ясно, что значение $%a=0$% подходит. Далее можно рассмотреть случай $%a > 0$% и посмотреть, при каких значениях $%a$% прямая будет проходить через концы полуокружности, то есть точки $%(-4;0)$% и $%(4;0)$%. Этому соответствуют значения $%a=4/9$% и $%a=4$%. Из геометрических соображений понятно, что будет происходить в промежуточных случаях. При $%0 < a\le4/9$% точек пересечения будет две, затем при $%4/9 < a\le4$% точка пересечения будет одна, а при $%4 < a$% прямая не пересечёт полуокружность. Далее надо исследовать случай $%a < 0$%. Здесь легко заметить, что и в точке $%t=0$%, и в точке $%t=4$%, значение линейной функции $%y=at+4-5a$% будет строго больше $%4$%, в то время как значение квадратного корня всегда не превосходит $%4$%. То есть прямая здесь будет расположена выше полуокружности, и решений при этих значениях параметра не имеется. отвечен 26 Авг '13 22:44 falcao |
$$8a + \sqrt{7+6x-x^2} = ax + 4\Leftrightarrow \begin{cases}y=\sqrt{7+6x-x^2},\\y=a(x-8)+4,\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}y=\sqrt{4^2-(x-3)^2},\\y=a(x-8)+4.\end{cases}$$ $%a\in{\{0\}}\cup(\frac{4}{9};4].$% отвечен 27 Авг '13 15:28 Anatoliy |
8a+ v7+6x-x^2 =ax+4 8a+v7+6x-x^2 -ax-4=0 v7+6x-x^2 -a ( домножаем а на х)= -8a+4\x v7+6x-x^2=-8а-ах+4\х х сокращаются v7+6x-x^2=-8a-a+4 v7+6x-x^2=-9a+4 чтобы избавиться от корня в левой части, возводим обе части в квадрат или во вторую степень (v7+6x-x^2)^2=(-9a+4)^2 -x^2+6x+7=81a^2+16 -81a^2-16=x^2-6x-7 -81a^2=x^2-6x-7+16 -81a^2=x^2-6x+9 x^2-6x+9=0 D=b^2-4ac=36-419=36-36=0 x1,2=-b+-vD\2a x1=6+0\2*1=3 x2=6-0\2*1=3 ====> =======> -81a^2=3 a^2=-3\81 т.к корня из отрицательного числа не существует, поделим обе части на -1 a^2=-3\81 |:(-1) -a^2=3\81 a=+ - -V3\81 P.S. Извиняюсь, что не пользовался редактором уравнений: слишком было бы долго. v-корень
границы корня я обозначил большим промежутком 8a+ v7+6x-x^2 =ax+4 8a+v7+6x-x^2 -ax-4=0 отвечен 26 Авг '13 17:23 Vil |