Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:

Найти все такие пары ортогональных матриц второго порядка, сумма которых - ортогональная матрица.

Вот, что у меня пока получилось:

Решение:

Пусть матрицы $%A$% и $%B$% ортогональные. Из условия задачи, нужно найти все такие пары матриц, для которых бы выполнялось:$%(1)$%$$(A + B)(A + B)^T=E$$ Раскроем это выражение: $$(A + B)(A + B)^T=AA^T + AB^T + BA^T + BB^T = E$$ Пользуясь ортогональностью выбранных матриц и тем, что $%AB^T = BA^T$% (проверяется непосредственно умножением), наше выражение примет вид: $%2AB^T = -E$% или $%2B^T=-A^{-1}$% Дальше можно выразить элементы $%a_{ij}$% через $%b_{ks}$%. Получается: $$a_{11} = -2b_{22}$$ $$a_{12} = 2b_{21}$$ $$a_{21} = 2b_{12}$$ $$a_{2} = -2b_{11}$$ Дальше я не знаю как действовать и сомневаюсь в том, что последний шаг (выражение элементов друг через друга) был оправданным. Ответ на эту задачу дан, но он мне тоже не понятен: Все пары, которые получаются из Е, $%-\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} \end{pmatrix}$% умножением обеих матриц на одну и ту же ортогональную матрицу.

Update1:

Действительно, @falcao верно подметил - я ошибся, сделав вывод о равенстве матриц $%AB^T=BA^T$%. Тогда получается, что $$2E + AB^T + BA^T = E$$, откуда $%(2)$% $$AB^T+BA^T=-E$$ далее если умножить это равенство на $%AB^T$% справа, то получим: $$-AB^T(AB^T+E)=E$$ Первая матрица в выражении ортогональная. Получается, что надо найти условие, при котором $%(AB^T+E)$% будет тоже являться ортогональной матрицей. Если из него составить условие, аналогичное условию $%(1)$%. То вновь получится $%(2)$%. Как дальше быть?

задан 7 Дек '19 11:34

изменен 7 Дек '19 17:29

@Romaru: как Вы получили AB^T=BA^T? Вторая матрица равна транспонированной первой, но почему они равны?

(7 Дек '19 15:54) falcao

Спасибо, я действительно там ошибся. Я сделал правку и добавил снизу исправленное. Буду признателен, если подскажете дальше.

(7 Дек '19 17:31) Romaru
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть A, B ортогональны. Условие ортогональности A+B равносильно ортогональности E+X, где X=A^{-1}B. Значит, обратная для E+X матрица совпадает с транспонированной, то есть с E+X^T=E+X^{-1}. Имеем (E+X)(E+X^{-1})=E <=> X^2+X+E=0.

Решим это уравнение в ортогональных матрицах. Допустим, что t^2+t+1 есть характеристический многочлен матрицы X. Такое условие будет достаточными в силу теоремы Гамильтона - Кэли. Определитель равен 1, то есть перед нами матрица поворота на угол ф. След равен -1, то есть cos(ф)=-1/2, угол равен +-2п/3. Получается два значения для X.

Если х.м. матрицы другой, то X является решением двух разных квадратных уравнений. Вычитая одно из другого, имеем линейное уравнение, и X пропорциональна единичной. Подставляя X=kE в уравнение, имеет противоречие, так как k^2+k+1 > 0.

Итого A любая ортогональная, B=AX, где X имеет два значения.

ссылка

отвечен 7 Дек '19 18:37

Спасибо! Буду разбираться

(7 Дек '19 20:18) Romaru
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,199
×384

задан
7 Дек '19 11:34

показан
55 раз

обновлен
7 Дек '19 20:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru