Здравствуйте! Нужно вычислить вот такой интеграл $$ \int_{0}^{\infty} \frac{xe^x}{e^x+1} \, dx $$ Можно вынести $$ e^{x} $$ в знаменателе и получить ряд $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^x} (e^{x} +1)^{-1} \, dx$$ где $$ (e^{x} +1)^{-1}$$ можно расписать в ряд при $$ e^{x} < 1 $$ Получается $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^{x}}\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}e^{-nx} \, dx $$ А вот что делать дальше, непонятно. Если можно совершить переход под знаком интеграла, то, интегрируя по частям и подставляя значения, получаем ряд $$ \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{12} $$ Законно ли совершать здесь переход в несобственном интеграле и почему?

задан 8 Дек '19 1:19

@КристинаЕвтени: этот интеграл равен бесконечности, то есть он расходится. Ведь функция на бесконечности асимптотически равна x.

(У Вас происходит разложение при условии e^x < 1, но оно никогда не выполняется, так как x>=0.)

(8 Дек '19 4:03) falcao

@КристинаЕвтени, уберите из числителя экспоненту. Что характерно, как раз при этом получится правильный ответ pi^2/12, и обосновывается корректность перестановки интеграла и суммы ряда.

(8 Дек '19 7:20) caterpillar

Ой, опечатка. Там исходный интеграл вот так выглядит $$ \int_{0}^{\infty} \ \frac{x}{e^{x}+1} \, dx $$ и тогда при вынесении экспоненты получится $$ \int_{0}^{\infty} \ \frac{x}{e^{x}} (e^{-x}+1)^{-1} \, dx $$

(8 Дек '19 14:27) КристинаЕвтени

И так как $$ \int_{0}^{\infty} \ \frac{x}{e^{x}} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} e^{-nx} \, dx = \lim_{y \to \infty} \int_{0}^{y} \ \frac{x}{e^{x}} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} e^{-nx} \, dx $$ то нужно обосновать два перехода: в пределе и в интеграле

(8 Дек '19 14:36) КристинаЕвтени
1

@КристинаЕвтени, чтобы строго обосновать законность такой перестановки, рассмотрите сперва интеграл по отрезку [a,b]. Тогда равномерная сходимость ряда будет очевидна из признака Вейерштрасса. Теперь можно выполнить перестановку, всё просчитать, а потом перейти к пределу при a к нулю, b к бесконечности (равномерная сходимость ряда там тоже будет очевидна).

(8 Дек '19 14:37) caterpillar

@caterpillar, а как быть с нулем?

(8 Дек '19 15:44) КристинаЕвтени

@КристинаЕвтени: а что плохого происходит в нуле? Интеграл там не имеет особенности.

(8 Дек '19 15:53) falcao

В нуле же нет равномерной сходимости вроде бы.

(8 Дек '19 17:22) КристинаЕвтени

@КристинаЕвтени, я же Вам сказал, рассмотрите отрезок [a,b], a>0,b<беск. Перечитайте внимательно указание.

(8 Дек '19 17:37) caterpillar
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×753
×133
×32
×27

задан
8 Дек '19 1:19

показан
113 раз

обновлен
8 Дек '19 17:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru