Нужно доказать, что: $$\int_{0}^{T}f(t)(\int_{0}^{t}g(x)dx)dt = \int_{0}^{T}g(t)(\int_{t}^{T}f(x)dx))dt$$

По-видимому, следует использовать интегрирование по частям, но не очень понятно, как…

задан 3 Июн '13 16:01

изменен 3 Июн '13 16:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%F(x)$% и $%G(x)$% -- первообразные для $%f(x)$% и $%g(x)$% соответственно, то есть $$F(x)=\int\limits_0^xf(t)\,dt$$ и $$G(x)=\int\limits_0^xg(t)\,dt.$$ Ясно, что $%F'(x)=f(x)$%, $%F(0)=0$%, $%G'(x)=g(x)$%, $%G(0)=0$%.

Преобразуемый интеграл от нуля до $%T$% есть интеграл от произведения $%f(t)G(t)$%, и его можно записать как интеграл от $%G(t)\,dF(t)$%, применяя интегрирование по частям, то есть переходя к разности двух выражений: произведения $%F(t)G(t)$%, взятого в пределах от $%0$% до $%T$%, то есть равного $%F(T)G(T)$%, и интеграла от $%F(t)\,dG(t)$%, то есть $%g(t)F(t)\,dt$%. Иными словами, получается $$F(T)G(T)-\int\limits_0^Tg(t)F(t)\,dt=\int\limits_0^TF(T)g(t)\,dt-\int\limits_0^Tg(t)F(t)\,dt=\int\limits_0^Tg(t)(F(T)-F(t))\,dt,$$ откуда ясно, что выражение в скобках представляет собой интеграл в пределах от $%t$% до $%T$% для функции $%f(x)$%.

ссылка

отвечен 3 Июн '13 17:22

А зачем все это? Разве не лучше использовать двойной интеграл?

(3 Июн '13 20:23) DocentI

@DocentI: это чисто методический момент. Упражение может предполагать знакомство с анализом в рамках функций одной переменной. Тогда ссылка на более поздние разделы курса уже не подходит. Теорема Фубини и всё, что с ней связано -- вопросы достаточно тонкие, а здесь как бы почти школьный матанализ. Но я согласен, что Ваша идея ведёт к более короткому решению -- по этому случаю я даже "отплюсовал" оставленный Вами ответ.

(3 Июн '13 20:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Нет. Это называется "изменение порядка интегрирования". Новые пределы определяются по области интегрирования.

ссылка

отвечен 3 Июн '13 17:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×819

задан
3 Июн '13 16:01

показан
474 раза

обновлен
3 Июн '13 20:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru