|
Нужно доказать, что: $$\int_{0}^{T}f(t)(\int_{0}^{t}g(x)dx)dt = \int_{0}^{T}g(t)(\int_{t}^{T}f(x)dx))dt$$ По-видимому, следует использовать интегрирование по частям, но не очень понятно, как… задан 3 Июн '13 16:01 
grep |
|
Пусть $%F(x)$% и $%G(x)$% -- первообразные для $%f(x)$% и $%g(x)$% соответственно, то есть $$F(x)=\int\limits_0^xf(t)\,dt$$ и $$G(x)=\int\limits_0^xg(t)\,dt.$$ Ясно, что $%F'(x)=f(x)$%, $%F(0)=0$%, $%G'(x)=g(x)$%, $%G(0)=0$%. Преобразуемый интеграл от нуля до $%T$% есть интеграл от произведения $%f(t)G(t)$%, и его можно записать как интеграл от $%G(t)\,dF(t)$%, применяя интегрирование по частям, то есть переходя к разности двух выражений: произведения $%F(t)G(t)$%, взятого в пределах от $%0$% до $%T$%, то есть равного $%F(T)G(T)$%, и интеграла от $%F(t)\,dG(t)$%, то есть $%g(t)F(t)\,dt$%. Иными словами, получается $$F(T)G(T)-\int\limits_0^Tg(t)F(t)\,dt=\int\limits_0^TF(T)g(t)\,dt-\int\limits_0^Tg(t)F(t)\,dt=\int\limits_0^Tg(t)(F(T)-F(t))\,dt,$$ откуда ясно, что выражение в скобках представляет собой интеграл в пределах от $%t$% до $%T$% для функции $%f(x)$%. отвечен 3 Июн '13 17:22 
falcao А зачем все это? Разве не лучше использовать двойной интеграл?
(3 Июн '13 20:23)
DocentI
@DocentI: это чисто методический момент. Упражение может предполагать знакомство с анализом в рамках функций одной переменной. Тогда ссылка на более поздние разделы курса уже не подходит. Теорема Фубини и всё, что с ней связано -- вопросы достаточно тонкие, а здесь как бы почти школьный матанализ. Но я согласен, что Ваша идея ведёт к более короткому решению -- по этому случаю я даже "отплюсовал" оставленный Вами ответ.
(3 Июн '13 20:29)
falcao
|
