Пользователь одной из соцсетей попросила меня помочь ей вот такое уравнение решить, в вещественных числах:

$$2^x-x^2-x-2=0$$

Вроде, выглядит как школьное. Неужели я настолько туплю?

задан 8 Дек '19 17:47

2

можно нарисовать графики функций, чтобы понять где находятся точки пересечения... а затем попытаться подобрать эти точки...

тут решение единственно... $%x=5$% ...

(8 Дек '19 18:25) all_exist
1

@Казвертеночка: весь вопрос в том, насколько строгим должно быть рассуждение, и что оно может (должно) использовать. Если можно привлекать производную (метод вполне школьный), то особых трудностей нет.

(8 Дек '19 19:00) falcao

@falcao, производная получилась $%2^x\ln{2}-2x-1$%, что это нам даёт?

(8 Дек '19 19:15) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, если рассмотреть графики функций $%y=2^x$% и $%y=x^2+x+2$%, то по школьным формулам находим вершину параболы $%(-0.5:\;1.75)$%... поскольку при $%x \le 0$% верно неравенство $%2^x \le 1$%, то делаем вывод, что при $%x \le 0$% корней нет...

Известно, что показательная функция растёт быстрее многочлена, поэтому при положительных иксах графики пересекутся ровно один раз... Дальше перебор...

Если бы коэффициенты были не такие удачные, то корень можно было только локализовать... а тут он хороший...

(8 Дек '19 19:30) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%f(x)=2^x-(x^2+x+2)$%. Непосредственно видно, что $%f(5)=0$%. Докажем, что других корней нет.

Прежде всего, из $%f(x)=0$% следует $%2^x=(x+\frac12)^2+\frac74 > 1$%, то есть $%x > 0$%. Следовательно, $%2^x=x^2+x+2 > 2$%, и потому $%x > 1$%. Этим же способом приходим к неравенству $%2^x > 1+1+2=4$%, и теперь уже $%x > 2$%. Подставляя это значение, имеем $%2^x > 4+2+2=8$%, и $%x > 3$%. После следующей подстановки имеем $%2^x > 14$%.

Достаточно показать, что функция $%f(x)$% возрастает при $%x\ge\log_2{14}$%. Тогда $%x=5$% будет единственным корнем. Производная $%f'(x)=2^x\ln2-(2x+1)$% в точке $%x=\log_2{14} < 4$% больше $%14\ln2-9 > 0$%, так как $%2^{14} > e^9$%. (Последнее проверяется на калькуляторе с учётом $%e < 2,8$%.)

Осталось заметить, что $%f'(x)$% возрастает на рассматриваемом луче, так как $%f''(x)=2^x(\ln2)^2-2\ge14(\ln2)^2-2 > 0$%, что очевидно, так как $%e < 4$%, откуда $%\ln2 > \frac12$%. Поэтому $%f'(x) > 0$% на всём луче, то есть $%f(x)$% там возрастает.

При желании, можно избежать проверки на калькуляторе, если заметить, что $%\log_2{14} > 3,5$%, откуда при новом шаге итерации $%2^x > 3,5^2+3,5+2=17,75 > 16$%, и теперь $%x > 4$%. Тогда вместо предыдущего неравенства надо проверить, что $%2^{16} > e^9$%, а это очевидно, так как $%2^{16}=256^2 > 243^2=3^{10} > e^{10}$%.

ссылка

отвечен 9 Дек '19 0:21

@falcao, большое Вам спасибо от меня и от неё!

(9 Дек '19 0:40) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: рассмотрение итераций навело меня на мысль, что должен работать метод сжимающих отображений. Он в самом деле проходит. Уравнение записываем как x=ф(x)=log_2(x^2+x+2). Проверяем на основании неравенства ln(2) > 1/2, что при x > 4 верно неравенство |ф'(x)|=ф'(x) < q < 1, где q=1/(2ln(2)). Отсюда следует существование и единственность решения (неподвижной точки).

(9 Дек '19 0:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,315
×191
×16
×4
×1

задан
8 Дек '19 17:47

показан
108 раз

обновлен
9 Дек '19 0:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru