Добрый вечер. Нужно найти область сходимости интеграла $$ \int_{0}^{1} \ \frac{sin(\frac{1}{x})}{x^{b}(1-x^{2})^{a}} \, dx $$ Расписал на два $$ \int_{0}^{1/2} \ \frac{sin(\frac{1}{x})}{x^{b}(1-x^{2})^{a}} \, dx + \int_{1/2}^{1} \ \frac{sin(\frac{1}{x})}{x^{b}(1-x^{2})^{a}} \, dx $$ Второй является знакопостоянным, по эквивалентности получил, что он расходится при a >= 1 и сходится при a < 1. Второй по признаку Дирихле сходится при b < 2. Но что-то не получается по критерию доказать, что при b >= 2 он будет расходиться.

задан 11 Дек '19 20:30

Выполните замену y=1/x и рассмотрите интегралы по отрезкам [2пn,п+2пn]. Они оцениваются снизу константой, например, 2.

(11 Дек '19 20:51) caterpillar

А можно поподробнее? Не совсем понимаю, как оценивать подынтегральное выражение, в частности $$ (1-x^{2})^{a} $$ ведь у нас а может быть как больше единицы, так и меньше.

(11 Дек '19 21:25) s18380148

Я Вас просил сперва замену сделать, а потом уже оценивать. После того, как перейдёте к переменной y и все степени свернёте, сделайте ещё одну замену: y=t+2пn. В полученном интеграле оценивается всё, кроме оставшегося синуса. Интеграл этого синуса и даст константу 2.

(12 Дек '19 4:23) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×270
×132
×3

задан
11 Дек '19 20:30

показан
141 раз

обновлен
12 Дек '19 4:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru