Нужно доказать, что если существует $%q=\lim(a_{n+1}/a_n)$%, то существует и $%\lim(a_n)^{1/n} =q$%. Для доказательства рекомендуется рассмотреть пример $%\sum \frac{3+(-1)^n}{2^n}$%.

задан 3 Июн '13 21:42

изменен 4 Июн '13 11:51

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим такое несложное, но полезное утверждение. Пусть $%\lim_{n\to\infty}x_n=x$%. Тогда $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_1+\cdots+x_n}n=x.$$ Доказательство основано на том, что достаточно установить этот факт для $%x=0$%, а потом применить его к последовательности $%x_n-x$%. При $%x=0$% берём произвольное $%\varepsilon > 0$% и находим $%N=N(\varepsilon)$% такое, что $%|x_n| < \varepsilon/2$% при всех $%n > N$%. Обозначая сумму модулей первых $%N$% членов последовательности через $%C$%, мы для всех $%n > N$%, $%n > 2C/\varepsilon$% имеем оценку $$\left|\frac{x_1+\cdots+x_n}n \right|\le\frac{|x_1|+\cdots+|x_N|+|x_{N+1}+\cdots+|x_n|}n\le\frac{C}n+\frac{n-N}n\cdot\frac{\varepsilon}2 < \varepsilon.$$

Теперь применим это утверждение к последовательности $%y_n$% с положительными членами, имеющей положительный предел $%y$%. Полагая $%x_n=\ln y_n$%, мы приходим к тому, что при этих условиях $$\lim\limits_{n\to\infty}(y_1y_2\ldots y_n)^{1/n}=y.$$

В рамках рассмотрения признаков Даламбера и Коши, рассматриваются ряды с положительными членами. Если для такой последовательности $%a_n$% имеет место равенство $%a_{n}/a_{n-1}\to q > 0$%, где $%a_0=1$%, то положим $%y_n=a_n/a_{n-1}$% и применим только что доказанное утверждение (для $%y=q$%). Ясно, что $%y_1y_2\ldots y_n=a_n$%, откуда всё следует.

ссылка

отвечен 3 Июн '13 22:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×550
×203

задан
3 Июн '13 21:42

показан
626 раз

обновлен
3 Июн '13 22:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru