Не срочно, но интересно:

Найти наименьшее значение функции:

F(x)=((1+(sin(x))^2)/(sin(x))^2)^100+((1+(cos(x))^2)/(cos(x))^2)^100

задан 14 Дек '19 0:36

1

$$\left(\frac{1+\sin^2x}{\sin^2x}\right)^{100}+\left(\frac{1+\cos^2x}{\cos^2x}\right)^{100}≥\frac1{2^{99}}\left(\frac{1+\sin^2x}{\sin^2x}+\frac{1+\cos^2x}{\cos^2x}\right)^{100}=$$ $$=\frac1{2^{99}}\left(2+\frac4{\sin^22x}\right)^{100}≥2⋅3^{100}.$$

(14 Дек '19 0:59) EdwardTurJ

Согласен. У меня получилось точно так же. Но вот интересно - имеется ли иной путь доказательтсва.

(14 Дек '19 12:36) Strannik

$%a^{100} + b^{100} \geq 2 a^{50}b^{50}$%

(14 Дек '19 13:04) potter
10|600 символов нужно символов осталось
0

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Уравнение $%f'(x_{\ast}) = 0$% - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке $%x_{\ast}$% первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной.

Пусть $%f(x)$% дважды дифференцируемая по $%x$%, принадлежащему множеству $%D$%. Если в точке $%x_{\ast}$% выполняется условие: $%f'(x_{\ast} ) = 0$%, $%f''(x_{\ast}) > 0$% то точка $%x_{\ast}$% является точкой локального (глобального) минимума функции.

в общем получаются 2 точки $%\frac{\pi}{4}$% и $%\frac{3\pi}{4}$%

обе явл. точками минимума функции т.е. $%f''(x)>0$%

$$ f_{\min} = 177635683940025046467781066894531250, $$ $$ f_{\max} = 177635683940025046467781066894531250 $$ и как-то меня это смущает.

Может еще какие идеи!?

ссылка

отвечен 14 Дек '19 13:43

изменен 14 Дек '19 13:58

all_exist's gravatar image


45.5k212

1

@Strannik, звёздочка выделяет курсив... поэтому в формулах её лучше заменять на \ast ...

(14 Дек '19 13:48) all_exist
1

@Strannik: а что тут странного? Минимум достигается при sin^(x)=cos^2(x)=1/2, то есть и при x=п/4, и при x=3п/4. Для периодических функций такое типично. Максимума у функции нет. Только там должно быть значение 2*3^100, а не то, которое написано (у Вас почему-то 2 умножено на 5^50).

(14 Дек '19 14:35) falcao

Просто этот пример спросил у меня мальчик 10 класса - а производную они еще не проходили.

Я ему показал первый способ - а потом сам сел и пересчитал через производную и получился этот ответ. Проверил через калькулятор и он выдал тот же ответ.

(14 Дек '19 19:26) Strannik
1

@Strannik: без производной и надо решать -- неравенства о среднем достаточно.

Если подставить точки п/4 или 3п/4 (что само по верно), то получится 3^100+3^100. На 0 такое число не оканчивается.

(14 Дек '19 20:13) falcao

Спасибо! :)

(14 Дек '19 20:20) Strannik
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×649
×49
×39

задан
14 Дек '19 0:36

показан
153 раза

обновлен
14 Дек '19 20:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru