|
Не срочно, но интересно: Найти наименьшее значение функции: F(x)=((1+(sin(x))^2)/(sin(x))^2)^100+((1+(cos(x))^2)/(cos(x))^2)^100 задан 14 Дек '19 0:36 
Strannik |
|
Необходимое условие экстремума функции одной переменной. Уравнение $%f'(x_{\ast}) = 0$% - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке $%x_{\ast}$% первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x, в которых функция не возрастает и не убывает. Достаточное условие экстремума функции одной переменной. Пусть $%f(x)$% дважды дифференцируемая по $%x$%, принадлежащему множеству $%D$%. Если в точке $%x_{\ast}$% выполняется условие: $%f'(x_{\ast} ) = 0$%, $%f''(x_{\ast}) > 0$% то точка $%x_{\ast}$% является точкой локального (глобального) минимума функции. в общем получаются 2 точки $%\frac{\pi}{4}$% и $%\frac{3\pi}{4}$% обе явл. точками минимума функции т.е. $%f''(x)>0$% $$ f_{\min} = 177635683940025046467781066894531250, $$ $$ f_{\max} = 177635683940025046467781066894531250 $$ и как-то меня это смущает. Может еще какие идеи!? отвечен 14 Дек '19 13:43
Strannik 1
@Strannik, звёздочка выделяет курсив... поэтому в формулах её лучше заменять на \ast ...
(14 Дек '19 13:48)
all_exist
1
@Strannik: а что тут странного? Минимум достигается при sin^(x)=cos^2(x)=1/2, то есть и при x=п/4, и при x=3п/4. Для периодических функций такое типично. Максимума у функции нет. Только там должно быть значение 2*3^100, а не то, которое написано (у Вас почему-то 2 умножено на 5^50).
(14 Дек '19 14:35)
falcao
Просто этот пример спросил у меня мальчик 10 класса - а производную они еще не проходили. Я ему показал первый способ - а потом сам сел и пересчитал через производную и получился этот ответ. Проверил через калькулятор и он выдал тот же ответ.
(14 Дек '19 19:26)
Strannik
1
@Strannik: без производной и надо решать -- неравенства о среднем достаточно. Если подставить точки п/4 или 3п/4 (что само по верно), то получится 3^100+3^100. На 0 такое число не оканчивается.
(14 Дек '19 20:13)
falcao
Спасибо! :)
(14 Дек '19 20:20)
Strannik
|
$$\left(\frac{1+\sin^2x}{\sin^2x}\right)^{100}+\left(\frac{1+\cos^2x}{\cos^2x}\right)^{100}≥\frac1{2^{99}}\left(\frac{1+\sin^2x}{\sin^2x}+\frac{1+\cos^2x}{\cos^2x}\right)^{100}=$$ $$=\frac1{2^{99}}\left(2+\frac4{\sin^22x}\right)^{100}≥2⋅3^{100}.$$
Согласен. У меня получилось точно так же. Но вот интересно - имеется ли иной путь доказательтсва.
$%a^{100} + b^{100} \geq 2 a^{50}b^{50}$%