Доказать, что $$\displaystyle \iint\limits_{x^2+y^2\le a^2}x^my^n\,dxdy=0,$$ если $%m$% и $%n$% - положительные числа и по меньшей мере одно из них нечетно.

Введем полярные координаты: $%x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi$%. Тогда $$\displaystyle \iint\limits_{x^2+y^2\le a^2}x^my^n\,dxdy=\iint\limits_{\substack{ 0\le \varphi\le2\pi \\ 0\le r\le a }}r^{m+n+1}\cos^m\varphi\sin^n\varphi\,drd\varphi=\dfrac{a^{m+n+2}}{m+n+2}\int\limits_0^{2\pi}\cos^m\varphi\sin^n\varphi\,d\varphi.$$ Но как быть дальше?

задан 15 Дек '19 0:05

разбивайте интеграл на части ... и делайте в одном из них сдвиговую замену, получая второй интеграл с противоположным знаком...

(15 Дек '19 0:10) all_exist

@all_exist "разбивайте интеграл на части" то есть интегрировать по частям? Что за сдвиговая замена? Вида $%\varphi+\alpha$%?

(15 Дек '19 0:17) cs_puma
1

"разбивайте интеграл на части" то есть интегрировать по частям? - нет... в сумму нескольких интегралов...

Вида... - да...

(15 Дек '19 0:21) all_exist

@all_exist Не очень получается... Допустим, $$\dfrac{a^{m+n+2}}{m+n+2}\int\limits_0^{2\pi}\cos^m\varphi\sin^n\varphi\,d\varphi=\dfrac{a^{m+n+2}}{m+n+2}\left(\int\limits_0^{\pi}\cos^m\varphi\sin^n\varphi\,d\varphi+\int\limits_{\pi}^{2\pi}\cos^m\varphi\sin^n\varphi\,d\varphi\right)$$ и сделаем замену $%t=\varphi-\dfrac{\pi}2$%. Получим $$\dfrac{a^{m+n+2}}{m+n+2}\left((-1)^n\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^m t\cos^nt\,dt+(-1)^n\int\limits_{\pi/2}^{3\pi/2}\sin^mt\cos^nt\,dt\right)$$ Откуда второй интеграл с противоположным знаком?

(15 Дек '19 0:45) cs_puma
1

замену только в одном интеграле... например, во втором $%\varphi = \pi+\psi$%... если одна степень чётная, а вторая нечётная, то получите ...

ну, сами там увидите...

(15 Дек '19 0:57) all_exist

@all_exist, меня тут осенило, а можно ли доказать так? Без ограничения общности будем считать, что число $%n$% - нечетное. Тогда в силу аддитивности двойного интеграла $$I=\iint\limits_{x^2+y^2\le a^2} x^my^n\,dxdy=\iint\limits_{x^2+y^2\le a^2,~y\le0} x^my^n\,dxdy+\iint\limits_{x^2+y^2\le a^2,~y\ge0} x^my^n\,dxdy=I_1+I_2.$$

В интеграле $%I_2$% сделаем замену переменных $%x=u$%, $%y=-v$%. Якобиан перехода $%J=-1$%, но так как $%n$% - нечетное, получаем $$I_2=-\iint\limits_{u^2+v^2\le a^2,~v\le0} u^mv^n\,dudv=-I_1.$$ Таким образом, $%I=I_1-I_1=0$%.

(11 Янв 16:47) cs_puma
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,206

задан
15 Дек '19 0:05

показан
52 раза

обновлен
11 Янв 16:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru