alt text

Я решил данное неравенство и получил $$x \in [1-\sqrt{3};(3-\sqrt{5})/2]$$ Но решение получилось довольно таки объемным:

  1. Поиск ОДЗ
  2. Рассматривал 2 случая: когда числитель положителен, знаменатель отрицателен и наоборот
  3. Потом пересекал все с ОДЗ

Неужели нет какого-нибудь более короткого решения?

задан 4 Июн '13 14:20

изменен 4 Июн '13 16:02

Deleted's gravatar image


126

Вроде как к указанным ТС значениям ещё надо дописать отрезок $%(2; 2.5)$%...

(4 Июн '13 20:29) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

link text

Я всегда(почти) определяю знаки числителя и знаменателя

ссылка

отвечен 4 Июн '13 17:23

изменен 7 Апр '14 12:14

Angry%20Bird's gravatar image


9125

А какой у Вас получился ответ?

(4 Июн '13 20:00) falcao

Ошибся при решении квадратного неравенства, перерешивать неохота, принцип спрашивающий , думаю, понял

(4 Июн '13 20:47) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
3

ОДЗ конечно необходимо. Но дальше можно применить такой прием. Пусть функция $%f(x)$% - возрастающая. Тогда знак разности $%f(x)-f(y)$% совпадает со знаком разности $%x-y$%. Поэтому, скажем, знаменатель можно заменить на $%2.5-x-1/2$%.
Аналогично числитель можно представить как разность корней, но только при $%x\le2$%. противоположный случай надо рассмотреть отдельно.

Дополнение. ОДЗ уравнения $%x<2.5; 2-x^2+2x\ge 0$%. Упрощая, получаем, что $%1-\sqrt3\le x\le2.5$%. Для этих $%x$% неравнество можно переписать в виде $${\sqrt{2-x^2+2x}-(2-x)\over \log_3(2.5-x)-\log_3{1\over2}}\le0\Leftrightarrow{\sqrt{2-x^2+2x}-(2-x)\over2-x}\le0$$.
При $%x< 2$% имеем $%2-x = \sqrt{4-4x+x^2}$%, неравенство можно переписать в виде $%{(2-x^2+2x)-(4-4x+x^2)\over (2.5-x)-{1\over2}}\le0$%. Знаменатель положителен, откуда $%-2+6x-2x^2\le0$%. С учетом предположений получаем $%x\in [1-\sqrt3;(3-\sqrt5)/2]$%

Если же $%x> 2$%, числитель неотрицателен, а знамнатель меньше 0, так что все значения из этой части ОДЗ подходят.

ссылка

отвечен 4 Июн '13 14:48

изменен 5 Июн '13 0:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь на чём-то сэкономить можно, но не сильно. Прежде всего, обращает на себя внимание "узость" ОДЗ. И лучше с ним ничего не пересекать, а действовать только в этих рамках. Нули числителя и знаменателя придётся находить так и так. Лучше начать со знаменателя, и тогда сразу ясно, что будут два случая: $%x < 2$% и $%x > 2$% -- в пределах ОДЗ. При этом ясен также знак у знаменателя. Останется проанализировать числитель, где одно слагаемое равно $%x-2$%, и сразу ясно, что при $%x > 2$% числитель заведомо положителен. А при $%x < 2$% надо будет сравнить между собой два неотрицательных числа: квадратный корень и $%2-x$%. Тут сразу ясно что надо возвести в квадрат. То есть тут пример так подобран, что весь этот анализ проводится легко -- почти устно.

Ответ, кстати, у Вас получился неверный: если $%x=2,1$%, то в числителе явно плюс, а в знаменателе минус. То есть надо пересчитать всё, не производя никаких сложных операций.

Добавление. Тут уже многие написали, и рассуждения у всех в основе своей похожи, но я продемонстрирую свой ход мысли в той форме, как он у меня сам собой сложился.

Начинаем со знаменателя, из которого $%x < 2,5$%. Приравниваем знаменатель к нулю, получаем $%x=2$%. Так быть не должно, поэтому имеем два случая, в каждом из которых знак знаменателя однозначно определяется.

1) $%x > 2$% (не забываем также про $%x < 2,5$%) Знаменатель отрицателен, а числитель явно положителен: сумма корня квадратного и $%x-2$%. Ничего не вычисляем, а в ответ включаем $%x\in(2;2,5)$%.

2) $%x < 2$%. Знаменатель положителен, поэтому решаем неравенство $%\sqrt{2+2x-x^2}\le2-x$%, означающее неположительность числителя. Заметим такой общий факт, что всякое неравенство вида $%\sqrt{A}\le B$%, где $%A$% и $%B$% некие выражения, равносильно системе из трёх условий: $%A\le B^2$%, $%A\ge0$%, $%B\ge0$%. Ясно, как от одного перейти к другому и обратно. В общем случае, тут нет лишних условий, но в нашей ситуации про $%B=2-x$% известна положительность, то есть достаточно двойного неравенства $%0\le2+2x-x^2\le4-4x+x^2$%.

В первом из неравенств выделяем полный квадрат и записываем его как $%(x-1)^2\le3$%. Решением будет отрезок $%[1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}]$%, пересекая который с множеством $%(-\infty;2)$% для рассматриваемого случая, имеем $%[1-\sqrt{3};2)$% ввиду того, что правый конец отрезка больше двух. Осталось пересечь найденное множество с множеством решений второго неравенства (лучше всего делать так, то есть пошагово, чтобы не запутаться), а оно имеет вид $%x^2-3x+1\ge0$%. Корни квадратного трёхчлена равны $%(3\pm\sqrt{5})/2$%, и множество решений неравенства состоит из двух лучей. Правый луч нам заведомо не подходит, так как там все точки больше двух (и даже не входят в область определения дроби из условия). Остаётся заметить, что число $%(3-\sqrt{5})/2$% положительно, но при этом меньше $%2$%, поэтому в пересечении мы имеем $%x\in[1-\sqrt{3};(3-\sqrt{5})/2]$%.

Осталось объединить множество решений для первого и второго случая, что даёт окончательный ответ $%x\in[1-\sqrt{3};(3-\sqrt{5})/2]\cup(2;2,5)$%.

ссылка

отвечен 4 Июн '13 15:53

изменен 5 Июн '13 1:04

Ну как раз таки если в числителе плюс, а в знаменателе минус, то и само выражение отрицательно,что и нужно по условию

(4 Июн '13 15:58) SenjuHashirama

Так там и нужны знаки различные: дробь меньше нуля

(4 Июн '13 15:59) epimkin

@SenjuHashirama: так в том-то и дело, что $%x=2.1$% подходит по условию, но в Ваше множество решений оно не входит. У Вас правый конец интервала порядка $%0,4$%.

(4 Июн '13 18:36) falcao

и вправду, странно. Не могли бы Вы тогда написать свое решение(если не сложно)

(4 Июн '13 20:04) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: давайте я напишу, но ближе к ночи, потому что сейчас мне надо отдохнуть после работы.

(4 Июн '13 20:26) falcao

без проблем

(4 Июн '13 20:33) SenjuHashirama
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

Метод интервалов - универсален... но при наличии разнородных выражений в числителе и знаменателе их рассмотрение по отдельности (на что указал @epimkin) несколько упрощает жизнь... (P.S.: метод рационализации тоже хорош... но я к нему не привык...)

Числитель $%f(x)=\sqrt{2-x^2+2x}+x-2=0$%:

ОДЗ: $%x^2-2x-2\le 0$%, то есть $%x \in \left[1-\sqrt{3}; 1+\sqrt{3}\right]$%... Решаем уравнение $%\sqrt{2-x^2+2x}+x-2=0$% и получаем единственный корень $%x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$%... дальше выясняем знаки и получаем, что $%f(x)\le 0$% при $%x\in\left[1-\sqrt{3}; \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right]$%... $%f(x)>0$% при $%x\in\left[ \frac{3-\sqrt{5}}{2};1+\sqrt{3}\right]$%...

Знаменатель $%g(x)=\log_3(2.5-x)+\log_32=\log_2(5-2x)$%

ОДЗ: $%5-2x>0,\;\;5-2x\neq 1$%...поскольку знаменатель не должен обращаться в нуль, то корни уравнения находятся при выписывании ОДЗ... выясняем знаки и получаем, что $%g(x)<0$% при $%x\in(2;2.5)$%... $%g(x)>0$% при $%x\in(-\infty;2)$%...

Дальше рассматриваем произведение знаков числителя и знаменателя и приходим к окончательному ответу $%x\in\left[1-\sqrt{3}; \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right]\cup (2;2.5)$%...

ссылка

отвечен 4 Июн '13 20:54

изменен 4 Июн '13 20:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,143
×340

задан
4 Июн '13 14:20

показан
1841 раз

обновлен
5 Июн '13 1:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru