Докажите, что нельзя пронумеровать грани куба шестью последовательными натуральными числами так, чтобы номер каждой грани был делителем суммы номеров соседних граней.

(Эта задача в несколько более упрощённом виде предлагалась на олимпиаде имени Эйлера, а "Эйлера" звучит как "Эй, Лера!", с разницей лишь в ударении.)

задан 16 Дек '19 1:35

1

@Казвертеночка, звучит как - ну, от Вас я такого не ожидал... (((

(16 Дек '19 1:43) all_exist

@all_exist, да, Вы правы, между "звучит" и "как" нужна запятая, поскольку речь идёт не об обстоятельстве образа действия, а об обстоятельстве сравнения.

(16 Дек '19 1:57) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

Среди 6 последовательных натуральных чисел ровно три чётных и три нечётных. Будем назвать грани чётными и нечётными. У чётной грани сумма чисел на соседних гранях чётна. Значит, любая чётная грань имеет чётное число нечётных соседей. Отсюда следует, что чётные грани не могут быть противоположными -- тогда по бокам будет 3 нечётных грани. Значит, чётные грани имеют общую вершину, и то же для нечётных.

Пусть наименьшее из шести чисел нечётно. Обозначим их 2k+1, ... , 2k+6. Сумма равна S=12k+21. Число на грани делит сумму всех чисел минус число на противоположной грани. Значит, 2k+6 делит разность S и нечётного числа, то есть 10k+20, 10k+18 или 10k+16.

В первом случае 5(2k+6)-(10k+20)=10 делится на 2k+6. Отсюда k=2. Числа 5, 6, 7, 8, 9, 10 с суммой 45. Тогда число 9 делит 45 минус одно из чисел, но такого быть не может, так как на 9 больше ничего не делится.

Во втором случае 12 делится на 2k+6. Значит, k=0 или k=3. Числа а) от 1 до 6 с суммой 21 или б) от 7 до 12 с суммой 57. Если а), то на 6 делится 21 минус нечётное, каковым может быть только 3. Но тогда на 5 делится 21 минус чётное -- годится только 6. Получается, что 6 противоположно сразу двум граням. Если б), то 11 не делит 57 минус чётное.

В третьем случае 14 делится на 2k+6, то есть k=4, числа от 9 до 14 с суммой 69. Здесь нет пары для 13.

Случай, когда наименьшее из чисел нечётно, получается из предыдущего сменой обозначений, то есть числа записываем как 2k-1, ... , 2k-6 с теми же выводами.

Решал "на завалинке", без бумаги, поэтому получилось длинно. Наверняка можно подсократить что-то, но для этого придётся подумать.

ссылка

отвечен 16 Дек '19 3:17

@falcao, большое спасибо! Подсократить немного можно, если обратить внимание, что наибольшее из 6 чисел не больше 14 )))

(17 Дек '19 1:39) Казвертеночка

@falcao, 2) Это следует из того, что если наибольшее число равно $%N$%, то сумма четырёх его соседей не меньше, чем $%4N-14$% (и не больше, чем $%4N-10$%) и должна делиться на $%N$%.

(17 Дек '19 1:46) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: да, я немного думал над упрощением, и там много более простых путей просматривалось.

(17 Дек '19 2:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,371
×201
×50
×18
×6

задан
16 Дек '19 1:35

показан
113 раз

обновлен
17 Дек '19 2:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru