|
Вычислить криволинейный интеграл по координатам вдоль замкнутого контура в положительном направлении непосредственно и по формуле Грина. Контур - периметр треугольника $%OAB: O(0,0), A(1,0), B(0,1)$%. $$\int(x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy$$ P.S. только сегодня прошли эту тему, а задание сдавать через два дня... очень нужна помощь... задан 4 Июн '13 18:12 
sasha_QA |
|
Подсчёт по формуле Грина такой: находите две частные производные, берёте их разность, интегрируете по треугольнику. Он ограничен линиями $%x=0$%, $%y=0$% и $%x+y=1$%, поэтому пределы интегрирования такие: $%x$% от $%0$% до $%1$%; $%y$% от $%0$% до $%1-x$%. Саму формулу см. в учебнике или в Википедии. Прямой способ: параметризуем каждый отрезок и интегрируем форму по нему, а потом три числа складываем. Должно совпасть с тем, что получено предыдущим способом. Пусть область обходится по часовой стрелке, т.е в направлении $%OBA$%. Первый отрезок параметризуется так: $%x=0$%, $%y=t$%, где $%t$% от $%0$% до $%1$%. Это дело надо подставить в интеграл, выражая всё через $%t$%. Для отрезка $%BA$% можно положить $%x=t$%, $%y=1-t$% в тех же пределах. Для $%AO$% будет $%x=1-t$%, $%y=0$%. отвечен 4 Июн '13 20:09 
falcao @sasha001: Подробнее -- это значит написать готовое решение. Если Вы хотите научиться решать такие задачи, то задавайте конкретные вопросы по поводу написанного, в котором надо разбираться медленно и "пошагово". Как только возникает первая трудность -- например, не знаете, как выглядит формула Грина, или непонятно, как находить частные производные, или что-то ещё -- пожалуйста, обращайтесь.
(5 Июн '13 18:54)
falcao
у меня вопрос, я я параметризую каждый отрезок,хотела спросить на счет пределов, пределы у меня по рисунку получаются: OB от 0 до 1, BA от 1 до 1, AO от 1 до 0. и ещё всё это нужно подставить в интеграл : инт.(x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy?(он шел дальше по условию)
(5 Июн '13 19:50)
sasha_QA
@sasha001: я описал то, как производится параметризация по каждому отрезку. Например, для отрезка $%OB$% всё выражается через параметр $%t$%, где $%t$% меняется в пределах от 0 до 1. Формулы там такие: $%x=0$%, $%y=t$%. Тогда $%dx=0$%, $%dy=dt$%, и всё это надо подставить в интеграл. Это совсем просто.
(5 Июн '13 20:56)
falcao
вы сказали подставить в интеграл, а в том случае если я буду параметризовать каждый отрезок мне нужно брать часную производную от интегргала?
(6 Июн '13 14:51)
sasha_QA
Боже мой, зачем!
(6 Июн '13 15:36)
DocentI
я тут уже всех запарила..ну его это задание((
(6 Июн '13 16:01)
sasha_QA
@sasha001: частные производные возникают при другом способе решения задачи -- с применением формулы Грина. В задании же предлагается решить двумя независимыми способами. Суть в том, что способы совсем разные, а ответы должны совпасть. При непосредственном подсчёте надо найти три совсем простых интеграла и сложить их значения. Все эти интегралы после подстановки становятся совсем простыми, так как многое зануляется. Сама подстановка там буквальная, и никаких дополнительных действий она не требует.
(6 Июн '13 17:19)
falcao
Да, для каждого из трёх случаев это всё надо аккуратно проделать, а потом сравнить результат с тем, который был получен при помощи формулы Грина -- для проверки правильности арифметических и прочих вычислений.
(6 Июн '13 18:01)
falcao
хорошо) разобралась..спасибо что помогаете!!
(8 Июн '13 10:59)
sasha_QA
показано 5 из 9
показать еще 4
|
@sasha001, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.