Вычислить криволинейный интеграл по координатам вдоль замкнутого контура в положительном направлении непосредственно и по формуле Грина. Контур - периметр треугольника $%OAB: O(0,0), A(1,0), B(0,1)$%. $$\int(x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy$$

P.S. только сегодня прошли эту тему, а задание сдавать через два дня... очень нужна помощь...

задан 4 Июн '13 18:12

изменен 5 Июн '13 21:14

Angry%20Bird's gravatar image


9125

@sasha001, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(5 Июн '13 21:22) Angry Bird
10|600 символов нужно символов осталось
1

Подсчёт по формуле Грина такой: находите две частные производные, берёте их разность, интегрируете по треугольнику. Он ограничен линиями $%x=0$%, $%y=0$% и $%x+y=1$%, поэтому пределы интегрирования такие: $%x$% от $%0$% до $%1$%; $%y$% от $%0$% до $%1-x$%. Саму формулу см. в учебнике или в Википедии.

Прямой способ: параметризуем каждый отрезок и интегрируем форму по нему, а потом три числа складываем. Должно совпасть с тем, что получено предыдущим способом. Пусть область обходится по часовой стрелке, т.е в направлении $%OBA$%. Первый отрезок параметризуется так: $%x=0$%, $%y=t$%, где $%t$% от $%0$% до $%1$%. Это дело надо подставить в интеграл, выражая всё через $%t$%. Для отрезка $%BA$% можно положить $%x=t$%, $%y=1-t$% в тех же пределах. Для $%AO$% будет $%x=1-t$%, $%y=0$%.

ссылка

отвечен 4 Июн '13 20:09

@sasha001: Подробнее -- это значит написать готовое решение. Если Вы хотите научиться решать такие задачи, то задавайте конкретные вопросы по поводу написанного, в котором надо разбираться медленно и "пошагово". Как только возникает первая трудность -- например, не знаете, как выглядит формула Грина, или непонятно, как находить частные производные, или что-то ещё -- пожалуйста, обращайтесь.

(5 Июн '13 18:54) falcao

у меня вопрос, я я параметризую каждый отрезок,хотела спросить на счет пределов, пределы у меня по рисунку получаются: OB от 0 до 1, BA от 1 до 1, AO от 1 до 0. и ещё всё это нужно подставить в интеграл : инт.(x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy?(он шел дальше по условию)

(5 Июн '13 19:50) sasha_QA

@sasha001: я описал то, как производится параметризация по каждому отрезку. Например, для отрезка $%OB$% всё выражается через параметр $%t$%, где $%t$% меняется в пределах от 0 до 1. Формулы там такие: $%x=0$%, $%y=t$%. Тогда $%dx=0$%, $%dy=dt$%, и всё это надо подставить в интеграл. Это совсем просто.

(5 Июн '13 20:56) falcao

вы сказали подставить в интеграл, а в том случае если я буду параметризовать каждый отрезок мне нужно брать часную производную от интегргала?

(6 Июн '13 14:51) sasha_QA

Боже мой, зачем!

(6 Июн '13 15:36) DocentI

я тут уже всех запарила..ну его это задание((

(6 Июн '13 16:01) sasha_QA

@sasha001: частные производные возникают при другом способе решения задачи -- с применением формулы Грина. В задании же предлагается решить двумя независимыми способами. Суть в том, что способы совсем разные, а ответы должны совпасть. При непосредственном подсчёте надо найти три совсем простых интеграла и сложить их значения. Все эти интегралы после подстановки становятся совсем простыми, так как многое зануляется. Сама подстановка там буквальная, и никаких дополнительных действий она не требует.

(6 Июн '13 17:19) falcao

Да, для каждого из трёх случаев это всё надо аккуратно проделать, а потом сравнить результат с тем, который был получен при помощи формулы Грина -- для проверки правильности арифметических и прочих вычислений.

(6 Июн '13 18:01) falcao

хорошо) разобралась..спасибо что помогаете!!

(8 Июн '13 10:59) sasha_QA
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ну, простая подстановка в формулу... получите двойной интеграл по треугольнику... а там переходите к повторному и получаете ответ...

ссылка

отвечен 4 Июн '13 20:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×928

задан
4 Июн '13 18:12

показан
1561 раз

обновлен
8 Июн '13 10:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru