|
Помогите найти интеграл $$\int\limits_{\frac12\arcsin\frac18}^{\pi/4}(\cos\varphi+\sin\varphi)\sqrt{\sin2\varphi}\,d\varphi$$ задан 17 Дек '19 17:58 
cs_puma |
|
Сперва по частям: $%\displaystyle\int\sqrt{\sin 2x}d(\sin x-\cos x)=\sqrt{\sin 2x}(\sin x-\cos x)-\int\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{\sin 2x}}\cdot\cos 2xdx$%. Далее, $%\sqrt{\sin 2x}=\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}$%, $%\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$%. Заносим $%\cos x+\sin x$% под дифференциал. Дальнейшее очевидно. отвечен 17 Дек '19 18:32 
caterpillar |
можно сразу замену $%t=\sin \varphi - \cos \varphi$% шлёпнуть...
да можно и сразу. Я как-то не заметил этой разности, пока носом в неё не уткнулся, после интегрирования по частям)) А лучше всего скомбинировать наши способы, тогда не придётся считать интеграл от $%\sqrt{1-t^2}$%.
а тут обычно методом проб и ошибок... если есть сумма/разность синуса и косинуса, а так же двойной угол, то либо первое, либо второе может подойти в качестве замены... а может и оба подойдут с разной степенью ректальности...
я сначала попробовал сумму... получилось не очень, но вроде и там продраться можно...