Решить систему:ab+bc+ac=1, a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b.Кроме решения a=b=c есть другие решения? Если нет, то как доказать

задан 17 Дек '19 19:12

изменен 17 Дек '19 19:13

Есть и другие. Например, a=b=1,c=0.

(17 Дек '19 20:04) falcao

Спасибо .5 решений очевидных я нашел. Возможно больше нет, но доказать не могу. Прбовал выходить из предположения, что решения удовлетворяют условию x>y>z, но не получилось

(17 Дек '19 23:43) Дед
2

$$a^2b+c=b^2c+a,$$ $$a(ab-1)=c(bc-1),$$ $$a(bc+ca)=c(ab+ca),$$ $$ac(b+a)=ac(b+c),$$ $$ac(a-c)=0,...$$

(18 Дек '19 0:09) EdwardTurJ
2

У меня путь решения был чуть длиннее. Я сначала разобрал простой случай, когда среди чисел есть 0. В предположении, что его нет, я двумя способами выразил c и получил a^2+ab+b^2=1. Аналогично для симметричных уравнений. Из них следует a^2+b^2+c^2=1 после сложения, откуда ab=c^2 и т.п., то есть кубы чисел равны abc, и тогда a=b=c.

(18 Дек '19 0:17) falcao
2

@Дед: по-моему, решений будет 8. Это (1,1,0), (-1,-1,0) и им симметричные, а также a=b=c для +-1/sqrt(3).

(18 Дек '19 0:19) falcao

Если равенство a^2+b^2+c^2=1 умножить на 2 и вычесть умноженное на 2 первое равенство системы, то получим (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0 и следовательно a=b=c

(18 Дек '19 18:30) Дед

Всем спасибо за помощь!!!

(18 Дек '19 18:30) Дед

@Дед: да, насчёт a=b=c этот способ будет быстрее.

(18 Дек '19 21:33) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,299

задан
17 Дек '19 19:12

показан
86 раз

обновлен
18 Дек '19 21:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru