Найдите все значения параметра a, при которых уравнение x^5 + (a-4)x^3 +(a+3)^2 x =0 имеет 5 действительных корней.

задан 19 Дек '19 22:50

10|600 символов нужно символов осталось
0

Один из корней $%x=0$%. Чтобы биквадратное уравнение имело 4 различных ненулевых корня, необходимо и достаточно, чтобы квадратное относительно $%y=x^2$% уравнение $%y^2+(a-4)y+(a+3)^2=0$% имело два различных положительных корня.

Дискриминант равен $%D=(a-4)^2-4(a+3)^2=-3a^2-32a-20 > 0$%. Корнями относительно $%a$% будут числа $%-10$% и $%-\frac23$%, откуда $%a\in(-10,-\frac23)$%. Если корни при этом положительны, то по теореме Виета, $%x_1x_2=(a+3)^2 > 0$% и $%x_1+x_2=4-a > 0$%, то есть $%a\ne-3$% и $%a < 4$%. Эти условия достаточны для положительности корней, так как их произведение положительно, и корни одного знака. Поскольку сумма также положительна, то оба корня положительны.

Неравенство $%a < 4$% у нас выполнено, и остаётся исключить значение $%a=-3$%, что приводит к ответу $%a\in(-10,-3)\cup(-3,-\frac23)$%.

ссылка

отвечен 20 Дек '19 2:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,294

задан
19 Дек '19 22:50

показан
62 раза

обновлен
20 Дек '19 2:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru