Является ли множество $% М= ({x \in l_2 : x=(x_1,...,x_n,...) , |x_n|<\frac 1{2^n} ,n \in N})$% замкнутым в $% l_2$% ?

задан 21 Дек '19 21:43

@Желтая кукуруза: строгим неравенствам обычно соответствуют открытые множества. Здесь очевидно сразу, что M не замкнуто. Берёте x2=x3=...=0, а координату x1 устремляете к 1/2 слева. Тогда точки из M стремятся в метрике пространства к точке (1/2,0,0,...) вне M.

(21 Дек '19 22:15) falcao

@falcao А можно тогда еще вопрос. Задание тоже самое, но у нас М состоит из таких х= (1,1,...,1/n (стоит на n+2 месте) ,0,0,...), n принадлежит N. Вообще надо показать компактность. Я вроде показала вполне ограниченность, теперь нужна замкнутость.Но мне кажется,что замкнутости не будет. Возьмем последовательность xn такую: (1,1,1\n,0,0...) (1,1,0,1\n,0,...) (1,1,0,0,1\n,0,...) ... Ее предел будет (1,1,0,0,0,...,0,..) , а он не принадлежит М. Но я не уверенна, в правильности рассуждений

(21 Дек '19 22:59) Желтая кукуруза

@Желтая кукуруза: я пока не понял Вашего описания. Если сначала идут все 1, а потом 1/n на (n+2)-м месте, то почему Вы берёте последовательности с промежуточными нулями?

(21 Дек '19 23:11) falcao

@falcao Ой, наверно, будет такое (1,1,1\3,0,0...) (1,1,0,1\4,0,...) (1,1,0,0,1\5,0,...) ... Но тогда будет сходится к (1,1,1/3,1/4 ..) ,что тоже не принадлежит M

(21 Дек '19 23:16) Желтая кукуруза

@Желтая кукуруза: желательно сразу писать точно, потому что читать такие тексты без обработки трудновато.

Если там в начале две единицы, а потом нули, и 1/n на каком-то месте, то эта последовательность стремится к (1,1,0,0,...), что M не принадлежит. Замкнутости там нет. Почему у Вас 1/3 и 1/4 сохранились в пределе, я не понимаю.

(21 Дек '19 23:40) falcao

@falcao да, я поняла, видимо вчера ночью плохо соображала. Спасибо!

(22 Дек '19 10:43) Желтая кукуруза
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×956
×15

задан
21 Дек '19 21:43

показан
425 раз

обновлен
22 Дек '19 10:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru