Помогите разобраться. Задание: изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. инт. dx (от 0 до 1) инт. $%f(x,y)dy$% (от $%-1+(2x-x^2)^1/2$% до $%1-(2x-x^2)^1/2)$%

задан 5 Июн '13 18:07

изменен 6 Июн '13 15:37

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь сначала надо изобразить саму фигуру. Видим, что $%x$% меняется от $%0$% до $%1$%. Рисуем две вертикальные линии: $%x=0$% и $%x=1$%. Фигура находится где-то между ними. Далее, при каждом $%x$% переменная $%y$% изменяется от $%-1+(2x-x^2)^{1/2}$% до $%1-(2x-x^2)^{1/2}$%. Это значит, что $%|y|\le1-(2x-x^2)^{1/2}$%. Легко видеть, что функция $%1-(2x-x^2)^{1/2}$% на отрезке $%[0;1]$% убывает, изменяясь от $%1$% до $%0$%. Это значит, что в пределах фигуры (её легко нарисовать исходя из описания: она симметрична относительно оси абсцисс, ограничена слева осью ординат, а сверху и снизу -- двумя кривыми) переменная $%y$% меняется от $%-1$% до $%1$%. При фиксированном $%y$% оказывается, что $%(2x-x^2)^{1/2}\le1-|y|$%. Неравенство можно возвести в квадрат, откуда $%2x-x^2\le(1-|y|)^2=1+y^2-2|y|$%. Следовательно, $%2|y|-y^2\le1-2x+x^2=(1-x)^2$%. Значит, $%1-x\ge(2|y|-y^2)^{1/2}$% в означенных пределах, откуда $%x\le1-(2|y|-y^2)^{1/2}$%. Мы также помним, что $%x\ge0$%, то есть окончательно имеем такой интеграл: $$\int\limits_{-1}^1dy\int\limits_{0}^{1-(2|y|-y^2)^{1/2}}f(x,y)\,dx,$$ где $%f$% -- интегрируемая функция.

ссылка

отвечен 5 Июн '13 18:34

Спасибо, я решила чуть по другому..и немного запуталась. Теперь разобралась!!!)))

(5 Июн '13 19:01) sasha_QA

один вопрос...когда вы взяли первый инт.dy (от-1 до 1), почему от -1? ведь х меняеться от 0 до 1?

(6 Июн '13 13:16) sasha_QA

@sasha001: переменная $%x$% меняется от 0 до 1, но здесь мы меняем порядок интегрирования, поэтому сначала смотрим на $%y$%. А эта переменная, как можно увидеть из рисунка с двумя кривыми, меняется от -1 до 1. Поэтому и пределы интегрирования для $%y$% именно такие.

(6 Июн '13 14:02) falcao

тогда получаеться точка 1-(2y-y^2)^1/2 отложенна по оси X)) поняла, спасибо))

(6 Июн '13 14:07) sasha_QA
10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

Я бы ответил так

ссылка

отвечен 5 Июн '13 18:59

изменен 6 Июн '13 15:38

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×928

задан
5 Июн '13 18:07

показан
1836 раз

обновлен
6 Июн '13 14:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru