интегралы - Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Здесь сначала надо изобразить саму фигуру. Видим, что $%x$% меняется от $%0$% до $%1$%. Рисуем две вертикальные линии: $%x=0$% и $%x=1$%. Фигура находится где-то между ними. Далее, при каждом $%x$% переменная $%y$% изменяется от $%-1+(2x-x^2)^{1/2}$% до $%1-(2x-x^2)^{1/2}$%. Это значит, что $%|y|\le1-(2x-x^2)^{1/2}$%. Легко видеть, что функция $%1-(2x-x^2)^{1/2}$% на отрезке $%[0;1]$% убывает, изменяясь от $%1$% до $%0$%. Это значит, что в пределах фигуры (её легко нарисовать исходя из описания: она симметрична относительно оси абсцисс, ограничена слева осью ординат, а сверху и снизу -- двумя кривыми) переменная $%y$% меняется от $%-1$% до $%1$%. При фиксированном $%y$% оказывается, что $%(2x-x^2)^{1/2}\le1-|y|$%. Неравенство можно возвести в квадрат, откуда $%2x-x^2\le(1-|y|)^2=1+y^2-2|y|$%. Следовательно, $%2|y|-y^2\le1-2x+x^2=(1-x)^2$%. Значит, $%1-x\ge(2|y|-y^2)^{1/2}$% в означенных пределах, откуда $%x\le1-(2|y|-y^2)^{1/2}$%. Мы также помним, что $%x\ge0$%, то есть окончательно имеем такой интеграл: $$\int\limits_{-1}^1dy\int\limits_{0}^{1-(2|y|-y^2)^{1/2}}f(x,y)\,dx,$$ где $%f$% -- интегрируемая функция.