уравнение-с-параметром - Как решить уравнение с параметром графически?

Можно поступить так: если в уравнении сделать замену переменной вида $%x\mapsto x+C$%, где $%C$% -- константа, то число решений не изменится. Эта константа не должна зависеть от $%x$%, но от значения параметра она зависеть может, так как мы исследуем количество решений относительно $%x$% при каждом фиксированном $%a$%. Поэтому положим $%t=x+2a+1$%. Тогда уравнение примет вид $$\sqrt{t}=\frac{t}4+\frac{a}2-\frac14.$$ Рисуем в системе координат $%Oty$% график функции $%y=\sqrt{t}$%, и исследуем, в скольких точках его пересекают прямые с угловым коэффициентом $%1/4$%. Прежде всего, $%y'(t)=1/(2\sqrt{t})$%, то есть в точке $%(4,2)$% касательная к графику кривой имеет угловой коэффициент $%1/4$%. Её уравнение имеет вид $%y=x/4+1$%, и оно соответствует значению параметра $%a$%, находимого из уравнения $%a/2-1/4=1$%, то есть $%a=5/2$%. При этом значении $%a$% уравнение имеет ровно одно решение; при увеличении $%a$% оказывается, что решений нет. Далее, если $%a$% уменьшать, то точек пересечения будет две, вплоть до случая, когда мы получим прямую, проходящую через начало координат. Значение $%a$% при этом равно $%1/2$% -- чтобы уравнение прямой имело вид $%y=t/4$%. Понятно, что ровно два решения будет при всех $%a\in[1/2;5/2)$%, а при $%a < 1/2$% точка пересечения прямой и кривой будет всего одна.

Аналитическим способом всё решается в принципе не хуже.