Нужно представить формулой Маклорена с o(x^4) функцию sqrt(cosx) Верно ли мое решение?

sqrt(cos(x))= (1- sin^2 x)^(1/4)=

1 + (- sin^2 x)(1/4) + (sin^4 x)(1/4)(-3/4)*(1/2) +o(x^4)=

1 - (x-x^3/6)^2 /4 -3*x^4 /32 +o(x^4)=

1 - (x^2 - x^4/3) /4 -3*x^4 /32 +o(x^4)

задан 25 Дек '19 17:19

изменен 25 Дек '19 17:26

Извиняюсь за оформление, латех почему-то некорректно отображается

(25 Дек '19 17:26) mutter123
10|600 символов нужно символов осталось
0

Проще сразу, не переходя к синусам: $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$$$$\sqrt{\cos x}=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\right)^\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\right)+$$$$+\frac{1}{2!}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\right)^2+o(x^4).$$ Дальнейшие слагаемые неинтересны, ибо там все степени выше 4. Осталось собрать все степени до 4, всё остальное загнать под $%o(x^4)$%.

У меня получился ответ $%1-\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{24}+o(x^4)$%. Графики подтверждают.

ссылка

отвечен 25 Дек '19 17:32

изменен 25 Дек '19 17:44

Верно ли, что для подсчета нужно вынести за скобки 1/2(-x^2/2! + x^4/4! + o(x^4))? Не понимаю как здесь квадрат раскрыть

(25 Дек '19 18:12) mutter123

$%(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$%. Аналогично для бОльшего числа слагаемых.

(25 Дек '19 18:13) caterpillar
1

@caterpillar: коэффициент при x^4 не такой.

@mutter123: возводить в квадрат там надо только 1-е слагаемое. Вынести можно было x^2/2, а потом уже сделать остальное.

(25 Дек '19 20:50) falcao

@falcao, действительно, -1/96, спасибо!

(25 Дек '19 20:56) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×66
×39

задан
25 Дек '19 17:19

показан
368 раз

обновлен
25 Дек '19 20:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru