Перевести во внутренность единичного круга следующую область: из комплексной плоскости выколоты 4 четверть и луч на действительной оси -1, +бесконечность. Все остальное перевести в этот круг.

задан 25 Дек '19 20:29

1

походу надо читать главу про интеграл Кристоффеля-Шварца...

(26 Дек '19 15:53) all_exist

@all_exist: я о такой вещи либо никогда не слыхал, либо прочно забыл (скорее всего, первое).

(26 Дек '19 22:43) falcao

Я решил, нужно сначала обратной функцией Жуковского отображать, потом уже легко свозиться.

(27 Дек '19 9:02) юсман
10|600 символов нужно символов осталось
3

@юсман, сомнительно, что тут удастся обойтись комбинацией простых отображений. Во всяком случае для получения конформного отображения. Это -- типовая задача на применение интеграла Кристоффеля-Шварца. Сперва строим отображение верхней полуплоскости на требуемую область, которую можно считать треугольником с вершинами $%A_1=0$%, $%A_2=-1$% и $%A_3=\infty$%. Углы в этих вершинах, соответственно, дают числа $%\alpha_1=\frac{1}{2}$%, $%\alpha_2=2$%, $%\alpha_3=-\frac{3}{2}$%. Выберем прообразы вершин: $%a_1=0$%, $%a_2=1$%, $%a_3=\infty$%, тогда по формуле Кристоффеля-Шварца $%w(z)=c\displaystyle\int\limits_0^z(\xi-a_1)^{\alpha_1-1}(\xi-a_2)^{\alpha_2-1}d\xi=c\int\limits_0^z\xi^{-\frac{1}{2}}(\xi-1)d\xi=c\left(\frac{2}{3}z^{\frac{3}{2}}-2z^{\frac{1}{2}}\right)$%. Из условия $%w(1)=-1$% находим $%c=\frac{3}{4}$%, поэтому $%w(z)=\frac{1}{2}\sqrt z(z-3)$%. Соответственно, нам нужно взять обратное отображение $%z=z(w)$% (решить кубическое уравнение, если нет способа проще), которое тоже будет конформным, а потом совершить отображение полуплоскости на единичный круг, что уже, конечно, тривиально.

ссылка

отвечен 28 Дек '19 12:59

вроде инверсия даст область со стр 332 рис 148в из Сидорова, Федорюка, Шабунина...

(28 Дек '19 21:42) all_exist

@all_exist, инверсию не проверял. Но тот рисунок -- это же как раз к интегралу Кристоффеля-Шварца пример) так что проще не будет. Или Вы что-то другое имели ввиду?

(29 Дек '19 4:39) caterpillar

@caterpillar, ничего другого не подразумевал... просто для такой области в книжке был готовый ответ... )))

(29 Дек '19 13:41) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×378

задан
25 Дек '19 20:29

показан
196 раз

обновлен
29 Дек '19 13:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru