На доске записано 2020 различных положительных чисел. Известно, что если расположить эти числа в порядке возрастания, то k-ое число будет в 20 раз больше среднего арифметического всех написанных чисел. Какое наименьшее значение может принимать k?

задан 2 Янв 9:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%a_1 < \cdots < a_{2020}$%. По условию, $%a_k=20\cdot\frac{a_1+\cdots+a_{2020}}{2020}$%, откуда $%101a_k=(a_1+\cdots+a_{k-1})+(a_k+\cdots+a_{2020}) > (2020-(k-1))a_k$%. Сокращая на $%a_k > 0$%, имеем $%k > 1920$%, то есть $%k\ge1921$%.

Для $%k=1921$% можно построить пример даже с натуральными числами. Положим $%a_i=i$% при $%1\le i\le1920$%, $%a_{1921}=a$%, $%a_{1922}=a+1$%, ... , $%a_{2020}=a+99$%. Сумма всех чисел равна $%\frac{1920\cdot1921}2+100a+\frac{99\cdot100}2=101a$%, и подходит $%a=\frac{1920\cdot1921}2+\frac{99\cdot100}2=1849110$%, что заведомо больше $%1920$%, то есть мы построили возрастающую последовательность.

ссылка

отвечен 2 Янв 11:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,683
×1,281
×1,113
×866
×308

задан
2 Янв 9:54

показан
360 раз

обновлен
2 Янв 11:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru