олимпиада - Доказать, что $%abc$% делится на 30

Пусть выполнено равенство $%a^2+b^2=c^2$% для натуральных чисел $%a$%, $%b$%, $%c$%. Условие задачи равносильно тому, что среди них имеется 1) чётное число; 2) число, кратное трём; 3) число, кратное пяти. Тогда произведение $%abc$% будет делиться на $%2$%, на $%3$% и на $%5$%, а потому и на $%30$%.

1) Если предположить, что все три числа нечётны, то сразу получаем противоречие: сумма двух нечётных чисел нечётна.

2) Здесь надо учесть вот какой факт: если число не делится на $%3$%, то его квадрат при делении на $%3$% даёт в остатке $%1$%. Доказывается это так: если целое число на $%3$% не делится, то оно имеет вид $%3k\pm1$% для некоторого целого $%k$%. Тогда возведение в квадрат даёт $%(3k\pm1)^2=9k^2\pm6k+1=3k(3k\pm2)+1$%, откуда сразу видно, что остаток от деления на $%3$% равен единице. Далее рассуждаем так же точно, то есть от противного. У всех чисел $%a^2$%, $%b^2$%, $%c^2$% остатки от деления на $%3$% оказываются равными единице, но так быть не может. Ясно, что сумма двух чисел, дающих в остатке $%1$%, должна давать в остатке $%2$%, а не $%1$%.

3) Этот пункт также исследуется аналогично. Здесь надо исходить из того, что число, не делящееся на $%5$%, может быть записано в одном из видов: $%5k\pm1$% или $%5k\pm2$% для некоторого целого $%k$%. Возводя эти числа в квадрат, мы получаем в остатке $%1$% или $%4$%. Это доказывает, что квадраты чисел при делении на $%5$% не могут давать в остатке ни $%2$%, ни $%3$%. Последнее, впрочем, можно вывести и из таблицы умножения: квадрат цифры, а потому и квадрат числа, не может оканчиваться на $%2$%, $%3$%, $%7$% или $%8$%.

Далее снова рассуждаем от противного. Если на $%5$% ничего не делится, то остатки квадратов равны $%1$% или $%4$%. Проверяя три суммы: $%1+1$%, $%1+4$%, $%4+4$%, мы видим, что остаток получается равен $%2$%, $%0$% или $%3$%. Это касается числа $%c^2$%, поэтому первое и третье невозможно, а во втором случае $%c$% кратно пяти.