Как найти целую часть числа $%\sum_{k=1} ^ n \frac{1}{\sqrt{k}}$%,для данного $%n\in N$% ?

задан 10 Янв 14:49

$$2(\sqrt{k+1}-\sqrt k)=\frac2{\sqrt k+\sqrt{k+1}}<\frac1{\sqrt k}<\frac2{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}<2(\sqrt k-\sqrt{k-1}).$$

(10 Янв 21:26) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: по-моему, этих неравенств не достаточно для нахождения целой части. Нужны чуть более точные оценки (ввиду умножения на 2, и не только).

А вопрос на эту тему, вроде бы, уже звучал?

(10 Янв 21:54) falcao

@falcao: Этих оценок достаточно (для $%k>k_0$%), если сумма дробей "не очень близка" к целому числу. Например, для $%n=2020$% используя оценки, начиная с $%k=3$%, получим ответ $%88$%.

Немного похожая задача - math.hashcode.ru/questions/56779/

(10 Янв 22:04) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: да, я именно эту задачу имел в виду! Формулировку не помнил, но мне казалось, что она Ваша.

Здесь, наверное, нужна асимптотика вида что-то + o(1) или даже o(1/n). Но я пока не знаю, всегда ли это даст возможность найти целую часть? Вдруг сумма очень близка к целому, но мы не знаем, в какую сторону? Надо будет немного подумать.

(10 Янв 23:05) falcao

@EdwardTurJ: по-моему, нахождение целой части -- вещь сложная. Не уверен, что есть готовая формула. Проще решалась бы задача о нахождении ближайшего целого, хотя и там надо немного постараться.

См. на oeis.

При n=202 и n=741 значения суммы опережают целое на очень малую величину. При n=714 сумма очень близка к целому, но чуть меньше.

@old: откуда Вы взяли эту задачу? По-моему, она несколько сложнее, чем можно ожидать.

(10 Янв 23:46) falcao

@falcao: Задачу я встретил в частном виде ,при $%n= 1000000$%,поэтому подумал ,что есть решение в общем виде.

(11 Янв 0:32) old

@old: для частного случая всё принципиально проще: там достаточно оценить члены ряда от k-го до последнего при небольшом k. Здесь получается 1998, и оценки, приведённые @EdwardTurJ, дают ответ даже при k=2. Но бывают "неудобные" числа типа тех, которые я указал, когда мы не знаем, с какой стороны число близко к целому, и это выяснить уже не так легко.

(11 Янв 1:24) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,685
×29

задан
10 Янв 14:49

показан
114 раз

обновлен
11 Янв 1:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru