Доказать, что если функция $%f(x, y, z)$% непрерывна в области $%V$% и $$\iiint\limits_{\omega} f(x, y, z)\,dxdydz=0$$ для любой области $%\omega\subset V$%, то $%f(x, y, z)\equiv0$% при $%(x, y, z)\in V$%.

Правильно ли я рассуждаю?

$%\square$% Пусть $%M$% - любая внутренняя точка множества $%V$% и $%S(M, r)$% - открытый шар. По теореме о среднем и из условия задачи имеем $$f(M_0)=\frac{3}{4\pi r^3}\iiint\limits_{S(M, r)}f(x, y, z)\,dxdydz, \quad M_0\in S(M, r).$$ Стягивая шар $%S(M, r)$% к точке $%M_0$%, получаем, что $%f(M_0)=0$%. Таким образом, функция $%f$% обращается в нуль в каждой внутренней точке множества $%V$%. В силу ее непрерывности в области $%V$% она будет равна нулю и в точках, принадлежащих границе области $%V$%, т.е. $%f(x, y, z)\equiv0$%, если $%(x, y, z)\in V$%. $%\blacksquare$%

задан 10 Янв 20:48

изменен 11 Янв 15:52

1

@cs_puma: там точка M0 упоминается всего один раз. Наверное, что-то другое имелось в виду.

Можно так рассуждать: взять точку, в которой f не равно 0. Если f(v) < 0, то заменим f на -f. Тогда f(v)=a > 0. Выбираем шар вокруг v, в точках которого f больше a/2. Дальнейшее очевидно.

(10 Янв 21:04) falcao

@falcao, понимаю, что вы предлагаете доказать от противного, но не знаю, как это расписать.. В своем решении дописал нули у точек, по невнимательности забыл

(10 Янв 21:36) cs_puma
1

@cs_puma: а что тут расписывать? Если f(v)=a > 0, то при eps=a/2 имеем ||f(w)-f(v)|| < eps при ||w-v||<=delta, то есть в шаре. Отсюда f(w)>=a/2 во всех точках шара, и интеграл по шару строго положителен.

(10 Янв 22:58) falcao
1

@cs_puma, по-моему, Ваше рассуждение не работает, начиная со слов "стягивая шар к точке...". Вы забыли, что при этом $%r\to0$% и в правой части получается "неопределённость". Не говоря о том, что при таком стягивании точка $%M_0$%, вообще говоря, меняется (поскольку Вы каждый раз вынуждены применять теорему о среднем заново). Тут либо нужны дополнительные пояснения, связанные с понятием производной по области, либо проще всего использовать способ @falcao.

(11 Янв 7:56) caterpillar

@caterpillar, @falcao, так верно?

Докажем от противного. Без ограничения общности предположим, что для некоторой внутренней точки $%(x_0, y_0, z_0)\in V$% выполняется соотношение $%f(x_0, y_0, z_0)>0$%. Следовательно, для точки $%(x_0, y_0, z_0)$% существует замкнутая окрестность $%\omega'\subset V$%, такая, что $%(x, y, z)\in V$% и $%f(x, y, z)>0$%. Таким образом, по теореме о среднем $$\iiint\limits_{\omega'} f(x, y, z)\,dxdydz=f(\xi, \eta, \zeta)\cdot V_{\omega'}>0,$$ где $%(\xi, \eta, \zeta)\in\omega'\subset V$%. Но $$\iiint\limits_{\omega} f(x, y, z)\,dxdydz=0,$$ получили противоречие.

(11 Янв 13:31) cs_puma
1

@cs_puma: это то же самое доказательство. Разница только в "мелочах". Первое: отмена оговорки про замену f на -f. В принципе, сам приём очевиден. Второе: выражение "замкнутая окрестность", хотя оно и употребимо в старой литературе, звучит как оксюморон в свете общей топологии. Я бы говорил о шаре -- это более конкретно. Третье: определение непрерывности более слабое, чем теорема о среднем, и его достаточно.

"А в остальном, прекрасная маркиза, всё хорошо, всё хорошо" (с) :)

(11 Янв 15:09) falcao

@falcao, для использования теоремы о среднем необходима дифференцируемость функции $%f$%? Вы использовали определение непрерывности функции, но я не понял некоторые Ваши обозначения.. Что означает запись $%f(V)$%? Значения функции $%f$% на множестве $%V$%? И почему используется обозначение нормы весто модуля разности в выражении $%||f(V)-f(\omega)||$%?

(11 Янв 15:42) cs_puma

@cs_puma: по-моему, там никакая дифференцируемость не нужна. Зачем?

Запись f(v) означает значение функции на 3-мерном векторе v. Две палочки вместо одной при сравнении значений функции написаны "на автопилоте". Само рассуждение более чем стандартно.

(11 Янв 17:06) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×98

задан
10 Янв 20:48

показан
132 раза

обновлен
11 Янв 17:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru