В треугольнике $%ABC$% $%\angle C=2\angle A$%. Из вершины угла $%B$% провели медиану $%BM$%. В треугольнике $%BMA$% провели биссектрису $%AO$%. Доказать, что $%\angle AOM \le 45^{\circ}$%.

задан 11 Янв 9:22

изменен 11 Янв 10:39

@panov artem: по-моему, это неверно. Если взять угол A равным 30 градусам, то COM окажется прямым.

(11 Янв 10:28) falcao

@falcao, согласен. Условие поправил.

(11 Янв 10:40) panov artem

@panov artem, пардон... решил другую задачу...

Рисунки рисую в "Живой геометрии" (Geometer's Sketchpad)...

(11 Янв 17:57) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

Какого-то простого "синтетического" решения не придумалось. Применим тригонометрию.

Углы треугольника $%\alpha$%, $%2\alpha$%, $%\pi-3\alpha$%. Полагаем $%a=1$%. По теореме синусов, $%c=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha$%, $%b=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}=3-4\sin^2\alpha$%.

Доказываемое утверждение равносильно тому, что угол $%ABO$% (заведомо острый) не больше $%\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2$%. То есть синус этого угла не больше $%\sin(\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2)$%. Что равносильно $%\frac{b}{2m}\le\frac{\sin(\frac{\pi}4-\frac{\alpha}2)}{\sin\alpha}=\frac{\cos(\alpha/2)-\sin(\alpha/2)}{\sqrt2\sin\alpha}$%, где $%m=BM$% -- длина медианы. Возводим в квадрат: $%\frac{b^2}{4m^2}\le\frac{1-\sin\alpha}{2\sin^2\alpha}$%.

Заметим, что $%(2m)^2=2(a^2+c^2)-b^2$% по свойству сторон и диагоналей параллелограмма. Отсюда $%4m^2=2(1+4\cos^2\alpha)-(3-4\sin\alpha^2)^2=2(5-4z^2)-(3-4z^2)^2$%, где $%z=\sin\alpha$%. Отметим, что $%\alpha\in(0,\frac{\pi}3)$%, то есть $%z\in(0,\frac{\sqrt3}2)$%.

Таким образом, $%(1-z)4m^2\ge2z^2b^2$%, то есть $%(1-z)(1+16z^2-16z^4)\ge2z^2(9-24z^2+16z^4)$%, что равносильно $%32z^6-16z^5-32z^4+16z^3+2z^2+z-1\le0$%, и после разложения на множители имеем $%(z+1)(1-2z)^2(8z^3-4z^2-2z-1)$%.

Ясно, что первый сомножитель положителен, второй неотрицателен, и равен нулю для угла $%\alpha$% величиной $%30^{\circ}$%, когда $%\angle AOM$% в самом деле равен $%45^{\circ}$%. Последний сомножитель равен $%t^3-t^2-t-1$%, где $%t\in(0,\sqrt3)$%. Эта функция имеет минимум при $%t=1$%, что устанавливается при помощи производной. Значение на левом конце отрицательно, и на правом равно $%2(\sqrt3-2) < 0$%. Значит, третий сомножитель всюду отрицателен, что завершает доказательство.

Решение чисто техническое, и я его записал чисто "из спортивного интереса". Думаю, должно быть что-то поинтереснее.

ссылка

отвечен 12 Янв 23:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×705

задан
11 Янв 9:22

показан
82 раза

обновлен
12 Янв 23:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru