В трапеции $%ABCD$% диагонали взаимно перпендикулярны. $%AD=3$%, $%BC=1$%. Отрезок соединяющий середины $%AD$% и $%BC$% равен 2. Можно ли на основе этих данных найти высоту трапеции $%AH$%?.

задан 5 Июн '13 23:22

изменен 5 Июн '13 23:37

Что-то мне перестал нравится стиль общения на этом форуме... Выдано сразу несколько готовых решений без всяких усилий со стороны автора вопроса :(
Мне казалось, что моей подсказки было достаточно, чтобы автор сам дошел до ответа, возможно, в диалоге с нами. А так человеку даже задумываться не надо ... Я ухожу с форума.

(6 Июн '13 11:48) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

В условии не сказано, являются ли $%AD$%, $%BC$% боковыми сторонами или основаниями трапеции. Однако даже в случае, если это основания, высота трапеции не определяется однозначно. В самом деле, пусть $%x$%, $%y$% -- произвольные положительные числа, удовлетворяющие условию $%x^2+y^2=1$%. Построим прямоугольный треугольник $%BOC$% такой, что $%BC=1$%, $%BO=x$%, $%CO=y$%. Далее на продолжении отрезка $%BO$% за точку $%O$% отложим длину $%OD=3x$%, а на продолжении отрезка $%CO$% за точку $%O$% отложим длину $%OA=3y$%. Из подобия треугольников $%BOC$% и $%DOA$% ясно, что $%AD=3$%, а также что $%AD$% параллельна $%BC$%, то есть $%ABCD$% будет трапецией с указанными длинами сторон $%AD$%, $%BC$%, причём её диагонали перпендикулярны по построению. Если $%K$% -- середина $%BC$%, а $%L$% -- середина $%AD$%, то из свойства прямоугольного треугольника ясно, что $%KO=1/2$%, $%LO=3/2$%. Точки $%K$%, $%O$%, $%L$% лежат на одной прямой (это можно обосновать из тех соображений, что при гомотетии с центром $%O$% и коэффициентом $%-3$% треугольник $%BOC$% переходит в $%DOA$%), то есть $%KL=KO+OL=1/2+3/2=2$%, согласно условию. Однако высоту $%h$% однозначно не определить, так как это равнозначно определению площади трапеции. Понятно, что площадь равна $%S=2h$% (полусумма оснований на высоту); она же равна половине произведения перпендикулярных диагоналей, длины которых суть $%4x$% и $%4y$%, то есть $%S=8xy$%. Таким образом, $%h=4xy$%, но эта величина может принимать любые положительные значения, не большие $%2$%, так как единственным ограничением служит равенство $%x^2+y^2=1$%, и все построения осуществлялись только при этом предположении.

ссылка

отвечен 6 Июн '13 0:19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Во первых условие, что отрезок соединяющий середины $%AD$% и $%BC$% равен 2(думаю это основания трапеции) следует из того, что диагонали взаимно перпендикулярны и $%AD=3$%, $%BC=1$%. Если диагональ с основанием образует угол $%\alpha,$% то легко доказать, что высота равна $%2sin2\alpha.$% То есть Высота зависит от этого угла.

ссылка

отвечен 6 Июн '13 0:01

изменен 6 Июн '13 0:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Длина отрезка, соединяющего середины сторон нужна для того, чтобы показать, что $%AD$% и $%BC$% это основания...

Предположим, что $%AD=3$% и $%BC=1$% боковые стороны... и дана средняя линия трапеции $%EF=2$% $%(E\in AD,\; F\in BC)$%... Соединим точку пересечения диагоналей - точку $%G$%, с серединами боковых сторон... По условию треугольники $%AGD$% и $%BGC$% прямоугольные, значит медианы проведённые из прямого угла равны половине гипотенузы... то есть $%GE=3/2,\; GF=1/2$%... следовательно, $%G\in EF$% (так как треугольник $%EFG$% - вырожденный)... Таким образом, получаем, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, отношение оснований должно быть 1:1, что возможно только когда трапеция является параллелограммом... а это невозможно, поскольку боковые стороны не равны...

Получили противоречие с предположением, что $%AD$% и $%BC$% боковые стороны... А дальше уже не раз отвечено, что перпендикулярности диагоналей и длин оснований не достаточно для однозначного нахождения высоты трапеции...

ссылка

отвечен 6 Июн '13 0:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

Может, поможет то, что указанный отрезок (соединяющий середины) всегда проходит через точку пересечения диагоналей? Из этого следует, что он обязательно будет иметь длину 2, это условие лишнее.

ссылка

отвечен 5 Июн '13 23:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×590

задан
5 Июн '13 23:22

показан
1355 раз

обновлен
6 Июн '13 11:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru