Докажите, что каждое решение неравенства $%\sqrt{x-1}+ \sqrt[3]{ x^{2}-1 } >2$% удовлетворяет неравенству $%x+2\cdot\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{ x^{4}-2 x^{2}+1 }>1+2\cdot\sqrt[3]{ x^{2}-1 }$%

задан 11 Янв 15:10

10|600 символов нужно символов осталось
2

Задача №6, психологический ф-т МГУ, 1987.

Пусть $%\sqrt{x-1}=a$%, $%\sqrt[3]{x^2-1}=b$%. Тогда первое неравенство приобретает вид $%a+b>2$%. Заметив, что $%\sqrt[3]{x^4-2x^2+1}=b^2$%, можно переписать второе неравенство в виде $$a^2+2a+b^2-2b>0 \quad {\Leftrightarrow} \quad (a+1)^2+(b-1)^2>2.$$ Пусть $%a+1=p$%, $%b-1=q$%. Достаточно доказать, что, если $%p+q>2$%, то $%p^2+q^2>2$%. Заметим, что $$p^2+q^2\geqslant \dfrac{(p+q)^2}2 \quad {\Leftrightarrow} \quad 2p^2+2q^2\geqslant p^2+2pq+q^2 \quad {\Leftrightarrow} \quad (p-q)^2\geqslant0,$$ и требуемое неравенство доказано. Наконец, $$p^2+q^2\geqslant \dfrac{(p+q)^2}2>\dfrac{2^2}2=2,$$ и задача решена.

ссылка

отвечен 11 Янв 16:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,468

задан
11 Янв 15:10

показан
26 раз

обновлен
11 Янв 16:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru