Найти $$\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\le1} x^my^nz^p\,dxdydz,$$ где $%m$%, $%n$% и $%p$% - целые неотрицательные числа.

Привожу свое решение.

Перейдем к сферическим координатам $%x=r\sin\theta\cos\varphi$%, $%y=r\sin\theta\sin\varphi$%, $%z=r\cos\theta$%. Тогда $$ I=8\int\limits_0^{\pi/2}\cos^m\varphi\sin^n\varphi\,d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}\cos^p\theta\sin^{m+n+1}\theta\,d\theta\int\limits_0^1r^{m+n+p+2}\,dr=$$ $$=\frac2{m+n+p+3}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{m+1}2\right)\Gamma\left(\frac{n+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{m+n+2}2\right)}\cdot\frac{\Gamma\bigl(\frac{p+1}2\bigr)\Gamma\left(\frac{m+n+2}2\right)}{\Gamma\bigl(\frac{m+n+p+3}2\bigr)}=$$ $$=\frac2{m+n+p+3}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{m+1}2\right)\Gamma\left(\frac{n+1}2\right)\Gamma\bigl(\frac{p+1}2\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{m+n+p+3}2\bigr)}.$$

Как дальше преобразовать это выражение? В ответе оно имеет такой вид $$\frac{4\pi}{m+n+p+3}\cdot\frac{(m-1)!!(n-1)!!(p-1)!!}{(m+n+p+1)!!}$$

задан 11 Янв 19:55

изменен 12 Янв 1:17

1

Если m чётно, то Г((m+1)/2)=((m-1)/2)Г((m-1)/2)=... и дальше по индукции, пока не останется Г(1/2)=sqrt(п). Аналогично с остальными числами. Потом сокращаем степени двойки и выносим п.

(11 Янв 20:57) falcao

@falcao, попробую.. а что насчет доказательства задачи для двойного интеграла? Оно так же проходит?

(11 Янв 20:59) cs_puma

@cs_puma: "не знаю, не пробовал" (с) :)

(11 Янв 21:50) falcao

@falcao, так оно же у меня в решении присутствует... Я специально отчертил эту задачу и ее решение..

(11 Янв 21:52) cs_puma

@falcao, Доказать, что $$\iint\limits_{x^2+y^2\le a^2}x^my^n\,dxdy=0,$$ если $%m, n$% - положительные числа и по меньшей мере одно из них нечетно.

Будем считать, что число $%n$% - нечетное. Тогда в силу аддитивности двойного интеграла $$I=\iint\limits_{x^2+y^2\le1} x^my^n\,dxdy=\iint\limits_{x^2+y^2\le1,~y\le0} x^my^n\,dxdy+\iint\limits_{x^2+y^2\le1,~y\ge0} x^my^n\,dxdy=I_1+I_2.$$ В интеграле $%I_2$% сделаем замену переменных $%x=u$%, $%y=−v$%. Так как $%n$% - нечетное, то $$I_2=-\iint\limits_{u^2+v^2\le1,~v\le0} u^mv^n\,dudv=-I_1.$$ Таким образом, $%I=I_1-I_1=0$%.

(11 Янв 21:54) cs_puma
1

@cs_puma: я этого даже не заметил.

Интеграл от нечётной функции равен нулю по симметричному отрезку -- это очевидно без формул.

(11 Янв 21:57) falcao

@falcao, Если m чётно, то Г((m+1)/2)=((m-1)/2)Г((m-1)/2)=... и дальше по индукции, пока не останется Г(1/2)=sqrt(п). Аналогично с остальными числами. Потом сокращаем степени двойки и выносим п.

Нашел в Википедии формулу $$\displaystyle\Gamma\left(\frac12+n\right)=\frac{\displaystyle(2n-1)!!}{\displaystyle2^n}\sqrt{\pi}$$

(11 Янв 22:43) cs_puma
1

@cs_puma: ну, так она именно этим способом и доказывается. Через основное тождество Г(x+1)=xГ(x).

(11 Янв 22:49) falcao

@falcao, а можете посоветовать литературу про гамма-функцию и тождества, связанные с ней, с доказательством?

(11 Янв 22:50) cs_puma
1

@cs_puma: это всё должно быть в основных учебниках. Наверное, в Фихтенгольце должно быть. По-моему, в Ильине, Садовничем, Сендове тоже есть.

(11 Янв 23:04) falcao

@falcao, посмотрю, спасибо!

(11 Янв 23:05) cs_puma
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×98

задан
11 Янв 19:55

показан
167 раз

обновлен
12 Янв 1:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru