Интеграл от 0 до бесконечности $%[(dx/(((x^2)+1)^{15}))]$%

задан 5 Июн '13 23:27

изменен 6 Июн '13 1:00

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

Функция чётна, поэтому представим интеграл как половину интеграла от $%-\infty$% до $%+\infty$%, а последний -- как предел интеграла от $%-R$% до $%R$% при $%R\to\infty$%. Рассмотрим контур интегрирования, состоящий из отрезка $%[-R,R]$% и полуокружности с центром в нуле радиусом $%R$% в верхней полуплоскости.

Легко видеть, что интеграл от функции $%f(z)=1/(z^2+1)^{15}$% по дуге полуокружности стремится к нулю при $%R\to\infty$%, так как $%z^2$% при этом лежит на окружности радиусом $%R^2$%, поэтому $%|z^2+1|\ge R^2-1$% при $%R\gg1$%, а длина дуги равна $%\pi R$%. Поэтому достаточно найти вычет функции в единственной особой точке верхней полуплоскости: это точка $%z_0=i$%. Поскольку $%f(z)=(z-i)^{-15}(z+i)^{-15}$%, нас интересует коэффициент при $%(z-i)^{14}$% в разложении функции $%(z+i)^{-15}$% в ряд Тейлора по степеням $%z-i$%. Он и будет являться вычетом. Для удобства заменим переменную, полагая $%w=z-i$%, разлагая функцию $%(w+2i)^{-15}$% в степенной ряд в окрестности нуля. Легко видеть, что $%14$%-я производная этой функции будет равна $%28\cdot27\cdots15(w+2i)^{-29}$%, что в нуле составляет $%-i\cdot28!/(14!\cdot2^{29})$%. Разделив на $%14!$%, мы получим искомый коэффициент при $%z^{14}$%, равный вычету, и тогда значение контурного интеграла получится умножением этой величины на $%2\pi i$%. С учётом того, что нас интересует половина этого интеграла, мы приходим к ответу $$\frac{28!}{14!\cdot2^{29}}\pi=\frac{5014575}{67108864}\pi.$$ Это и есть ответ в задаче. По величине это примерно $%0,2347491977$%, что довольно близко к $%\sqrt{\pi/14}/2$%.

ссылка

отвечен 6 Июн '13 1:54

спасибо большое!)

(6 Июн '13 16:08) ДарьяИгрна
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×920
×200
×43

задан
5 Июн '13 23:27

показан
2239 раз

обновлен
6 Июн '13 16:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru