В данной теме предлагаю обсудить определение понятия множества, которое Вы считаете наиболее разумным. Необходимым также считаю обоснование сделанного выбора.

задан 18 Фев '12 19:26

1

Я уже дал свое определение.

(18 Фев '12 19:52) Андрей Юрьевич

Я там Вам ответила, но повторюсь: для математики непроверяемые свойства бесполезны. Что значит, что "элементы имеют общее свойство?" А Вы докажите, что его нет! Конечно, я не знаток современной теории множеств, рожденной в попытках избежать парадоксов. Но все-же ваше определение как-то слишком узко.

(18 Фев '12 23:27) DocentI

Я в той ветке ответил, не буду повторяться, скажу только про "узость". Между прочим, под это определение подпадают не только обычные, но и нечеткие множества. В обычных множествах общее свойство кодируется условием "есть/нет", т.е. одним двоичным разрядом. В нечетких множествах - действительным числом.

(18 Фев '12 23:52) Андрей Юрьевич

Разве это хорошо? Это же два разных понятия! Я подхожу к вопросу практически. Когда я рассказываю о теории множеств студентам (особенно гуманитариям) мне надо подчеркнуть четкость математических понятий, которой у гуманитариев как раз не хватает.

(19 Фев '12 0:07) DocentI

По-моему, это совсем не разные понятия, и я как раз показал, как их привести одному. А чем меньше сущностей - тем лучше.

(19 Фев '12 0:24) Андрей Юрьевич
1

Конечно, четкое множество - это частный случай нечеткого. Но классическое (по Заде) определение нечеткого множества опирается на существование некоторого "носителя", который есть четкое множество. Именно на его элементах задается характеристическая функция.

Если заранее не описать "просто" множество, то это определение "провисает"

(19 Фев '12 0:30) DocentI

Просто определение слегка скорректируется - будет не в 2 этапа, а в 1. А так, - все то же самое. Множество элементов, обладающих общим нечетким свойством (которое можно измерить и записать его величины числом). Множество больших городов. Множество красивых девушек. Множество умных людей ...

(19 Фев '12 0:47) Андрей Юрьевич

Что за один этап? Непонятно! Нефункционально. В моем понимании порядок такой: 1. Определяется множество городов как ЮРИДИЧЕСКОЕ понятие (через список, который должен существовать в любом государстве) 2. На этом множестве задается характеристическая функция со значениями от 0 до 1. Эти этапы совершенно разные и выполняются разными средствами! Как же можно объединить их в один?

(19 Фев '12 1:30) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я думаю, суть наших с Вами разногласий в том, что мы по-разному интерпретируем понятие "свойство". Давайте пройдемся по Вашим примерам.

  1. Множество четных чисел. Совокупность элементов {p}, обладающих следующими двумя общими свойствами а) p - натуральное число (со всеми вытекающими из этого свойствами натуральных чисел), б) p делится без остатка на 2.
  2. А - подмножество множества натуральных чисел N, которые мы с какой-то целью выделили из всего N. Эта цель - и есть их общее свойство.
  3. Большие города. "Большой" - это свойство, но, вообще говоря, - нечеткое. Количественно его можно задать, например, действительным числом в диапазоне [0,1]. Т.е. по своей сути - это нечеткое множество. Определяется следующим образом: множество элементов {g}, обладающих общим четким свойством "g - город" и общим нечетким свойством "g - большой город".
ссылка

отвечен 19 Фев '12 17:24

изменен 20 Фев '12 23:36

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Что такое "натуральное число"? Это не свойство! Натуральные числа СТРОЯТСЯ по некоторому правилу (добавлением единицы или аксиоматически). Также и вещественные числа: результат некоторой процедуры (предельного прехода или факторизации). Иногда студенты говорят, что "вещественные числа - это рациональные или иррациональные числа". Но ведь "иррациональные" - значит просто "не рациональные". А тогда какие?

Во втором пункте вы вообще вводите антропный принцип в математику "мы, с какой-то целью". А это множество (как и многие другие) существует независимо от того, "выделяем" мы его или нет!

(19 Фев '12 17:58) DocentI

В п. 3) я уже говорила, что "большой" - это вообще не свойство с точки зрения математики. Можно приблизительно смоделировать его различными четкими или нечеткими способами. Но таких моделей - бесконечное количество и ни одна не является "лучшей". А без модели "большой" - это слово естественного языка, а не термин. Недаром же Л.Заде назвал свою работу "О понятии лингвистической переменной".

Но главное - я не вижу никакой ПОЛЬЗЫ от понятия "общее свойство". В каком примере оно помогает мне отличить "множество" от "немножества"?

(19 Фев '12 17:59) DocentI

В первую очередь я хотел бы обратиться к DocentI:

Вы не приводите никаких аргументов, похоже больше на эмоции.

Вы говорите: Что такое "натуральное число"? Это не свойство! конечено не свойство, это множество. Нет противоречий.

Вы говорите, студенты говорят: "вещественные числа - это рациональные или иррациональные числа" - Задача преподавателя объяснить студентам суть изначальных понятий и вести их вместе с собой по этим запутанным корридорам, которые подчас сродни лабиринту. Считаю, что в особой помощи нуждаются также смельчаки в одиночку путешествующие по лабиринту.

(19 Фев '12 19:11) chipnddail

В общем, я сказал, все что хотел по этому поводу. Дальше придется повторяться, чего не хотелось бы. Точки зрения обозначены и всем ясны. Поэтому, мне кажется, можно свернуть дискуссию.

(19 Фев '12 19:46) Андрей Юрьевич

Нет, не эмоции. Андрей Юрьевич говорит, что "... обладают следующими свойствами : а) p- натуральное число". Так вот это - не свойство, что я и сказала. А насчет "аргументов" - так они даже пронумерованы ;-))
Думаю, проблема не во мне, а в Вас: как говорил Козьма Прутков, "некоторые вещи нам непонятны не потому, что наши поняти слабы, а потому, что сии вещи не входят в число наших понятий"

(20 Фев '12 22:56) DocentI

Ладно, только сошлюсь на авторитеты:
Георг Кантор:
Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M)
Бертран Рассел
«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».
И нигде про свойства! Впрочем, Вы можете иметь и свое понимание этого объекта.

(20 Фев '12 22:59) DocentI
1

Уважаемые коллеги, все-таки продолжу. Я сейчас перечитал наши посты и, кажется понял суть разногласий. DocentI считает, что все мыслемые и немыслемые множества УЖЕ СУЩЕСТВУЮТ. Это как раз приводит к парадоксу Рассела: если все множества уже существуют, то существует и "множество всех множеств", т.к. существуют все его элементы. Определение, которое я дал, утверждает, что априори существуют не сами множества, а только возможность их сформировать из некоторого "запаса" элементов.

(21 Фев '12 16:14) Андрей Юрьевич

Существуют только те множества, которые тем или иным способом УЖЕ сформированы либо указанием общего свойства элементов, по которому они объединяются, либо присвоением им такого свойства (совпадающего с именем или с другим способом идентификации нового множества). Такой подход позволяет избежать парадокса Рассела: множества всех множеств нет, потому что оно еще не сформировано, да и не может быть сформировано, т.к. неизвестны все его элементы.

(21 Фев '12 16:17) Андрей Юрьевич
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я считаю, что множество-это правило, с помощью которого мы для любого объекта можем сказать, принадлежит оно нашему множеству или нет. Вообще множество-это неопределяемое понятие и оно на самом деле не так уж хорошо. Например, не бывает множества всех множеств: если предположить, что оно существует и мы можем рассматривать его элементы, получится противоречие. Подробнее: Парадокс Рассела

ссылка

отвечен 18 Фев '12 19:53

изменен 18 Фев '12 19:54

Поставил + за ссылку на парадокс Рассела. Но лично я не считаю,что множество и правило есть разные понятие, но на мой взгляд они довольно тесно связаны.

(19 Фев '12 3:46) chipnddail
10|600 символов нужно символов осталось
1

Хочу поспорить с описанием множества через свойство. Каждое описание/определение в математике должно быть функционально. Т.е. должно помочь ДОКАЗАТЬ или ОПРОВЕРГНУТЬ, что объект принадлежит данному классу.

Например, мы примем такое описание: "Множество есть совокупность объектов, каждый из которых обладает определенным свойством". Можно ли на его основе проверить, что - множество, а что - нет? Примеры:

  1. Множество четных чисел. Вроде, действительно, определяется свойством. Но для проверки "четности" надо сначала иметь целые числа. А вот их множество определяется не свойством (а, например, рекурсивно). Так что свойство позволяет только выделить подмножество.
  2. A = {1,3,5,6,9,17}. Какое свойство у этих чисел? Да никакого, только то, что они принадлежат A. Т.е. A является множеством, потому что все его элементы принадлежат A ? Круг в определении!
  3. Те же "большие города". Вроде "большой" - это свойство. Но, как и в первом пункте, оно применяется к чему-то, заданному ранее. Кроме того, оно нечеткое, неформализованное.

Я применяю такое описание: Множество - аналог понятий "набор", "совокупность", "группа" и т.п. У него существуют элементы. Между элементами и множествами есть соответствие, называемое "принадлежит": элемент принадлежит множеству. Каждый объект либо точно принадлежит данному множеству, либо нет.

Такое описание можно проверить. Например, "летающие слоны" - множество, т.к. любой объект ТОЧНО НЕ ПРИНАДЛЕЖИТ ему. Это множество пустое. А "Красивые девушки" - не множество, так как понятие красоты нечеткое. Невозможно точно сказать, какая из девушек красивая, а какая - нет.

Главное в математических понятиях - четкость!

ссылка

отвечен 19 Фев '12 12:39

Не знаю, как добавить комментарий на реплику Андрея Юрьевича, пишу здесь. Я согласна с тем, что множества не существуют априори. Но не согласна с использованием понятия "свойство" как общего принципа такого формирования. Чисто методически, упоминание "свойств" наводит студентов на неправильное представление о множествах (в отличие от Андрея Юрьевича, который воспринимает это понятие философски)

(21 Фев '12 16:21) DocentI

Ирина (к, сожалению, не знаю Вашего отчества), я Ваш коллега, я тоже работаю со студентами, в том числе, с гуманитариями. И подход, который я изложил, ни к какому неправильному пониманию не приводит. Следующая после определения фраза "Множество можно задать либо перечислением элементов A={a,b,c...}, A={2,4,6 ...}, либо указанием общих свойств A={элементы|общие свойства},например , A={p|p=2k, k-натуральное число}". Все логично и понятно.

(21 Фев '12 17:20) Андрей Юрьевич

Да, я во многом с Вами согласна. Сейчас хочу подытожить свои раздумья

(21 Фев '12 21:28) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×480
×185

задан
18 Фев '12 19:26

показан
1973 раза

обновлен
21 Фев '12 21:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru