Найдите все значения a, при которых уравнение: $$(|a|−1)cos(2x)+(1−|a−2|)sin(2x)+(1−|2−a|)cos(x)+(1−|a|)sin(x) = 0$$ имеет нечётное число решений на интервале $$(−\pi; \pi)$$.
Мехмат МГУ 2000 год.

задан 13 Янв 22:56

изменен 13 Янв 23:05

10|600 символов нужно символов осталось
3

Обозначив $%A=|a|-1,\, B=1-|2-a|,$% перепишем уравнение в виде $$A\cos2x+B\sin2x=-B\cos x+A\sin x.$$

Если $%a=1,$% то $%A=B=0,$% и все $%x\in(-\pi;\pi)$% являются решениями.

Если $%a\ne1,$% то $%A^2+B^2>0.$% Воспользуемся методом введения вспомогательного аргумента: $$\cos(2x-\varphi)=\cos(x-(\varphi+\pi/2)) \quad {\Leftrightarrow}$$ $$ {\Leftrightarrow} \quad \left[\begin{aligned} & 2x-\varphi=x-\varphi-\pi/2+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z\\ & 2x-\varphi=-x+\varphi+\pi/2+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z\\ \end{aligned}\right. \quad {\Leftrightarrow}$$ $$ {\Leftrightarrow} \quad \left[\begin{aligned} & x=-\pi/2+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z\\ & x=2\varphi/3+\pi/6+2\pi k/3,\quad k\in\mathbb Z\\ \end{aligned}\right.$$ где $%\cos\varphi=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2}},\, \sin\varphi=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}.$% Первая серия решений совокупности дает одну фиксированную точку на тригонометрической окружности, а вторая серия - три зависящие от $%\varphi$% точки, дуги между которыми равны $%120^\circ.$%

Число всех решений на дуге $%(-\pi;\pi)$% будет нечетным только в тех случаях, когда одна из трех найденных точек совпадает либо с $%\pi,$% либо с $%-\pi/2.$% Таким образом, $$\left[\begin{aligned} & 2\varphi/3+\pi/6+2\pi k/3=\pi,\\ & 2\varphi/3+\pi/6+2\pi k/3=-\pi/2,\\ \end{aligned}\right. \quad {\Leftrightarrow} \quad \left[\begin{aligned} & \varphi=\pi/4+\pi n,\\ & \varphi=\pi n,\\ \end{aligned}\right. \quad {\Leftrightarrow} \quad \left[\begin{aligned} & \tan\varphi=1,\\ & \tan\varphi=0.\\ \end{aligned}\right.$$

Так как $%\tan\varphi=B/A,$% то получаем совокупность $$\left[\begin{aligned} & A=B\ne0,\\ & B=0,\, A\ne0,\\ \end{aligned}\right. \quad {\Leftrightarrow} \quad \left\{\begin{aligned} & \left[\begin{aligned} & |a|-1=1-|2-a|,\\ & 1-|2-a|=0,\\ \end{aligned}\right.\\ & a\ne1\\ \end{aligned}\right. \quad {\Leftrightarrow}$$ $${\Leftrightarrow} \quad \left\{\begin{aligned} & \left[\begin{aligned} & |a|+|2-a|=2,\\ & |2-a|=1,\\ \end{aligned}\right.\\ & a\ne1\\ \end{aligned}\right. \quad {\Leftrightarrow} \quad \left\{\begin{aligned} & \left[\begin{aligned} & 0\leqslant a\leqslant2,\\ & a=1,\\ & a=3,\\\end{aligned}\right.\\ & a\ne1.\\ \end{aligned}\right.$$

Ответ: $%a\in[0;1)\cup(1;2]\cup\{3\}.$%

ссылка

отвечен 14 Янв 2:25

изменен 14 Янв 2:26

@cs_puma Спасибо большое за решение. Но хотел бы уточнить. Если мы отдельно рассмотрим случай 0<=a<=2, то получим три различных корня принадлежащих промежутку от -pi до pi и не один из них не совпадает с -pi/2 или pi. Если же мы подставим найденные корни в уравнение, то обнаружим, что эти корни соответствуют значению а=1 и поэтому мы можем их исключить, так как считаем что а не равно 1. То есть мы исключаем не потому, что они совпадают с -pi/2 или \pi.

(15 Янв 0:29) taurus

@cs_puma: по-моему, хорошее решение.

@golodny: случай a=1 был исключён в самом начале, когда говорилось про A=B=0. Здесь нельзя было делить на корень из суммы квадратов, то есть всё сказанное далее к этому случаю не относится. Поэтому он был исключён в ходе выписывания системы.

(15 Янв 3:26) falcao

@falcao Пусть к примеру 0<а<1. Тогда $%cos(\varphi)=sin(\varphi)=-1/sqrt(2)$% и вторая серия решений дает нам три корня $% (2\pi/3; -2\pi/3; 0)$% Плюс из первой серии $%-\pi/2$% и того четыре корня на промежутке $%(-\pi,\pi)$%. Не могу понять, где здесь ошибка.

(15 Янв 9:34) taurus
1

@golodny: угол ф здесь равен -3п/4, если подставить, то для x будут значения -п/3, п/3, п, одно из которых равно п, то есть оно пропадает.

(15 Янв 12:06) falcao

@falcao Ну конечно! Спасибо что объяснили. Бывают какие-то странные ошибки, скорее даже психологические. Почему я решил, что фи равен минус пи на четыре - история "покрытая мраком".

(15 Янв 19:39) taurus
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×514
×251

задан
13 Янв 22:56

показан
175 раз

обновлен
15 Янв 19:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru