топология - Гомеоморфность и гомотопность

@falcao, прошу прощения, вы не знаете что автор здесь имел ввиду?

@Matrix: точно не знаю, но думаю, что здесь описан некий общий подход к тому, как можно различить "похожие", но при этом не гомеоморфные пространства. Таких подходов в принципе много (например, рассмотрение фундаментальной группы). Истолковать вне контекста слово "дискретные" я не могу. Но, возможно, имелось в виду, что надо брать такое X, чтобы ситуацию можно было далее этими средствами изучать. Например, можно взять точку, и это даст знание числа связных компонент.

Скорее всего, дальше в тексте должны быть конкретные применения.

@falcao: а почему если классы разные, то Y заведомо не гомеоморфно Y'? По-моему классы разные всегда, ведь эти функции бьют в заведомо разные пространства, нет? Независимо от того гомеоморфно Y и Y' или нет.

@Matrix: рассмотрим два отображения точки в пространство. Они будут гомотопны тогда и только тогда, когда точки попадут в одну и ту же компоненту. Поэтому в связное пространство точку можно вложить одним способом (с точностью до ...), а в несвязное -- многими. Получается, что у двух пространств мы нашли две разные топологические характеристики. Значит, они не гомеоморфны. Тот факт, что у гомеоморфных пространств всё должно быть одинаково, это базовая вещь, и она очевидна. В одно пространство есть 1 способ вложить точку, в другое -- более одного. Сравниваются количества.