Помогите, пожалуйста, разложить функцию $%x(x+\pi/2)$% на $%(0; \pi/2)$% в ряд Фурье по синусам.

Сколько ни пробую, получается не очень хорошее решение

задан 6 Июн '13 4:08

изменен 6 Июн '13 22:32

А почему короткий промежуток? По синусам каких углов раскладывается?

(6 Июн '13 8:20) DocentI

Также хочу уточнить: можно ли разложить функцию на интервале $%(-\pi,pi)$%, а потом просто воспользоваться тем, что на подинтервале тот же ряд сходится к данной функции? Или это по каким-то причинам не подходит? Второй вопрос: иногда в разложении допускают функции типа $%\sin nx/2$%. Здесь это разрешается рассматривать или нет?

(6 Июн '13 9:07) falcao
1

По идее функцию можно продолжить нечётным образом, она будет задана на промежутке длиной $%\pi$%. Такая функция раскладывается по синусам $%2n\pi x$%

(6 Июн '13 11:08) DocentI

по sin(2nx). разложение можно рассматривать на интервале(−π,π).

(6 Июн '13 12:09) Василь

Можно. Но не этой функции. Сумма ряда на продолжении не совпадает с исходной функцией

(6 Июн '13 15:19) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я рассмотрел нечётное продолжение функции, а затем периодически продолжил на $%(-\pi,\pi)$%. Получилось разложение в ряд Фурье по синусам $%2nx$%. Коэффициенты Фурье не слишком сложно выглядят. При чётных $%n$% они равны $%-\pi/n$%, а при нечётных $%n$% получилось $%\pi/n-2/(\pi n^3)$%. То есть в целом ряд Фурье выглядит так: $$\left(\pi-\frac2{\pi}\right)\sin 2x-\frac{\pi}2\sin 4x+\left(\frac{\pi}3-\frac2{27\pi}\right)\sin 6x+\frac{\pi}4\sin 8x+\left(\frac{\pi}5-\frac2{125\pi}\right)\sin 10x-\frac{\pi}6\sin 12x+\cdots.$$

На графиках, построенных в Maple, хорошо видно, что на $%[0;\pi/2)$% этот ряд сходится к функции $%x(x+\pi/2)$%.

ссылка

отвечен 6 Июн '13 22:22

а можно формулы или где почитать как делать разложение?

(6 Июн '13 22:30) Василь

Я считал при помощи Maple, то есть просто находил коэффициенты Фурье по обычным формулам $%b_m=(1/\pi)\int_{\pi}^{\pi}f(x)\sin mx\,dx$%. Под $%f(x)$% здесь понимается продолженная функция. Все интегралы здесь самые обычные, то есть они берутся по частям.

(6 Июн '13 22:45) falcao

т.е. вы продолжили функцию на [-π;0] и на [π/2;π] c помощью -x^2-x*π/2?

(6 Июн '13 23:05) Василь

Нет, иначе не остались бы синусы "четных" углов. Продолжено по нечетности и периодичности с периодом $%\pi$%

(6 Июн '13 23:17) DocentI

На $%(-\pi/2,0)$% функция была продолжена по нечётности: $%f(x)=x(\pi/2-x)$% для точек этого интервала. На остальные части продолжение периодическое с периодом $%\pi$%, то есть на $%(\pi/2;\pi)$% формула имеет вид $%f(x)=(x-\pi)(3\pi/2-x)$%, а для $%(-\pi;-\pi/2)$%, соответственно, $%f(x)=(x+\pi)(x+3\pi/2)$%, если я нигде не опечатался.

(6 Июн '13 23:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×45

задан
6 Июн '13 4:08

показан
4072 раза

обновлен
6 Июн '13 23:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru